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MARIA MANFREDINI

Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
Docente Interateneo
Dipartimento di Ingegneria "Enzo Ferrari"

Insegnamento: Complementi di analisi matematica

Fisica (D.M. 270/04) (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Obiettivo del corso è fornire agli studenti una adeguata preparazione relativamente alla teoria dell'integrazione in spazi multidimensionali e alla teoria della integrazione su varietà. Per un ulteriore approfondimento degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei risultati di apprendimento attesi

Prerequisiti

Elementi di base di calcolo differenziale in una e in più variabili, integrale in una variabile, e fondamenti di algebra lineare.

Programma del corso

Misura di Lebesgue in R^n. (10 ore)

Integrale secondo Lebesgue in R^n. Definizione e proprietà delle funzioni integrabili. Confronto in R tra l’integrale di Riemann e l’integrale di Lebesgue.
Il Teorema di riduzione e il teorema di cambiamento di variabile. (10 ore)

Integrali curvilinei di II specie. Definizione di curva orientata.
Il teorema di Gauss-Green nel piano. Applicazione: calcolo dell'area di un sottoinsieme di R^2. (8 ore)

Campi vettoriali o forme differenziali. Definizione di campi vettoriali conservativi e di potenziale. Teorema fondamentale del lavoro di un campo conservativo. Condizione sufficiente affinché un campo chiuso sia conservativo. (10 ore)

Varietà differenziabili (superfici). Definizione di superficie regolare con bordo. Area di una superficie. Superfici orientate con bordo. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Il teorema della divergenza e il teorema di Stokes.(10 ore)

La scansione dei contenuti è da intendere come indicativa. Essa può infatti subire modifiche nel corso dell’insegnamento alla luce dei riscontri e della partecipazione degli studenti.

Metodi didattici

Lezioni frontali e le esercitazioni sono in presenza e hanno come obiettivo sia l'esposizione dei contenuti teorici, sia l'utilizzo di tali contenuti in applicazioni significative, con la discussione di esempi ed esercizi.

L’insegnamento è erogato in lingua italiana.

Testi di riferimento

Pagani-Salsa: "Analisi Matematica 2" ed. Liguori

Lanconelli " Lezioni di Analisi Matematica 2, prima e seconda parte" ed. Pitagora

Per approfondimenti:

Wheeden, Zygmund "Measure and integral: an introduction to real analysis" Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics

Nelson, "A User-Friendly Introduction to Lebesgue Measure and Integration" ams

Bramanti: “Esercitazioni di analisi matematica 2” ed. Esculapio


Vengono inoltre forniti appunti del docente sul sito moodle.unimore.it

Verifica dell'apprendimento

L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Nella prova scritta, della durata di due ore, viene richiesta la risoluzione di 4 esercizi simili a quelli proposti a lezione e che saranno valutati in base alla presentazione, chiarezza e profondità di ragionamento. L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta.
La prova orale consiste in almeno due domande che riguardano tutta la teoria.

Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento illustrandoli con capacità di linguaggio e risolvendo problemi anche complessi.
In particolare, la conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza voto minimo (18/30), conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza voto massimo (30/30 e lode), graduazione dei voti intermedi in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi , compresi quelli trasversali dimostrata durante la prova d’esame, oppure in base alla qualità e all’approfondimento delle presentazioni.

Risultati attesi

1) Conoscenza e capacità di comprensione: Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base del calcolo integrale in più variabili reali e nella integrazione su varietà.
2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le tecniche e le conoscenze acquisite allo studio problemi inerenti al calcolo integrale.
3) Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire argomentazioni teoriche e di riconoscerne la correttezza formale.
4) Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di esporre oralmente gli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato ed un formalismo matematico corretto.
5) Capacità di apprendimento: gli strumenti forniti durante il corso permetteranno di sviluppare la capacità di apprendere e approfondire in modo autonomo argomenti collaterali a quelli presentati durante il corso.