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Olindo CORRADINI

Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Fisica

Insegnamento: Metodi matematici per la fisica

Fisica (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Conoscenza e capacità di comprensione
Alla fine del corso lo studente acquisirà le conoscenze di base degli strumenti matematici che costituiscono il supporto delle moderne teorie fisiche: la teoria delle funzioni analitiche, degli spazi vettoriali lineari, la teoria degli operatori lineari, degli spazi funzionali, degli spazi di Hilbert, delle serie e delle trasformate di Fourier, e dovrà essere in grado di comprenderne le potenzialità applicative.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Alla fine del corso lo studente dovrà sviluppare la capacità di applicare tali conoscenze per il calcolo di integrali in campo complesso, per la diagonalizzazione di matrici in spazi vettoriali lineari, per trattare gli spazi funzionali, per il calcolo di serie e trasformate di Fourier.

Autonomia di giudizio
Al termine del corso lo studente avrà sviluppato la capacità di scegliere autonomamente l'approccio matematico corretto per affrontare le varie problematiche incontrate nel corso.

Abilità comunicative
Al temine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropiato ed utilizzando in modo corretto il formalismo matematico.

Capacità di apprendimento
Al termine del corso lo studente avrà sviluppato la capacità di approfondire in modo autonomo i vari argomenti trattati, in modo necessariamente limitato, durante le lezioni.

Prerequisiti

Conoscenze di base di calcolo analitico: calcolo integrale e differenziale. Conoscenze di base di algebra lineare e calcolo matriciale.

Programma del corso

1)Funzioni complesse di variabile complessa. Funzioni analitiche e condizioni di Cauchy-Riemann con dimostrazione. Diseguaglianza di Darboux con dimostrazione. Teorema di Cauchy con dimostrazione. Rappresentazione integrale di Cauchy con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Morera. Enunciato del Teorema di Cauchy-Liouville. Serie di Taylor. Serie di Laurent. Classificazione delle singolarità. Metodo dei residui e sue applicazioni. Lemma di Jordan con dimostrazione e sue applicazioni. Funzioni polidrome. Le funzioni Gamma e Beta di Eulero. 3 CFU
2) Cenni alla teoria delle distribuzioni e delle distribuzioni temperate. Funzioni a supporto limitato. Limite debole di successioni di funzioni. Rappresentazioni delle distribuzioni. La distribuzione delta di Dirac e le sue proprietà. 1 CFU
3) Spazi vettoriali lineari a dimensione finita. Prodotto scalare. Spazi duali e diseguaglianze di Cauchy-Schwartz. Spazi metrici. Operatori lineari. Inverso destro e sinistro di un operatore. Operatore aggiunto. Operatori di proiezione. Vettori linearmente indipendenti. Processo di ortonormalizzazione di Schmidt. Rappresentazione di un operatore lineare in uno spazio N-dimensionale. Cambiamento di base di vettori a matrici in uno spazio N-dimensionale. Componenti covarianti a controvarianti. Algebra delle Matrici. Problema agli autovalori. Sottospazi invarianti. Equazione caratteristica ed enunciato del Teorema di Hamilton-Cayley. Diagonalizzazione simultanea di matrici hermitiane. 2 CFU
4) Spazio delle funzioni continue. Prodotto scalare in spazi funzionali. Integrale alla Lebesgue. Enunciato del Teorema di Riesz-Fisher. Funzioni a quadrato sommabile. Diseguaglianza di Bessel. Sviluppo formale in serie di Fourier. Convergenza in media. Sistemi chiusi e completi. Spazi di Hilbert. Trasformate di Fourier. 3 CFU

Metodi didattici

Lezioni frontali ed esercitazioni numeriche svolte in classe, in presenza, ed in lingua italiana. La frequenza non è obbligatoria.
Attività di sostegno svolte da studenti di laurea magistrale o dottorandi.

Ricevimento studenti: mercoledì 15.00-17.00 oppure su appuntamento.

Testi di riferimento

Arfken, Mathematical Methods for physicists, Academic Press
Dennery and Krzywicki, Mathematics for physicists, Dover
Rossetti, Metodi matematici della fisica, Levrotto e Bella
Cicogna, Metodi matematici della Fisica, Springer

Per approfondimenti:
Gamelin, Complex Analysis, Springer

Libri con esercizi:
Angilella, Esercizi di Metodi matematici della Fisica, Springer
Grassi, Esercizi di Metodi matematici per fisici e ingegneri, Casa editrice Ambrosiana

Verifica dell'apprendimento

L'esame si compone di due parti: un esonero scritto e una discussione finale orale.
L'esonero scritto può essere ottenuto equivalentemente tramite il superamento di due
prove scritte parziali in itinere o tramite un esame finale della durata di 2 ore e 30 minuti, che prevede la soluzione di 2 problemi. La durata dell'esenzione è a tempo indeterminato. La discussione orale, alla quale si è ammessi solo in seguito al conseguimento dell'esonero scritto, consta di quattro domande di cui una a piacere, e ha la durata approssimativa di 60 minuti -- tale esame puo' essere suddiviso in due parti per studenti con DSA accertati. Lo schema di valutazione finale per l'assegnazione del voto finale è la seguente:

18 punti: conoscenza e capacità di esposizione basilare
22 punti: conoscenza e capacità di esposizione discreta
26 punti: conoscenza e capacità di esposizione buona
30 punti: conoscenza e capacità di esposizione eccellente
30 punti e lode: conoscenza e capacità di esposizione eccellente e senza intoppi

Risultati attesi

Conoscenza e capacità di comprensione:
Tramite le lezioni in aula e il materiale didattico eventualmente fornito al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base della della teoria delle funzioni analitiche, degli spazi vettoriali lineari e degli spazi funzionali.

Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Tramite le esercitazioni numeriche effettuate in aula al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare queste conoscenze a problemi di fisica che convolgono i contenuti citati

Autonomia di giudizio:
Grazie alla varieta' di esempi forniti al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo gli approcci descrittivi e i metodi di calcolo appropriati ai diversi tipi di problemi di fisica moderna.

Abilità comunicative:
Grazie alle discussioni con il docente e il colloquio finale al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico e formalismo appropriati.

Capacità di apprendimento:
Lo studio, in buona parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento
di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.