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Cristian GIARDINA'
Professore Ordinario Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Scienze Comunicazione
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Insegnamento: Processi stocastici
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di fornire agli studenti conoscenze approfondite di una ampia classe di processi stocastici utilizzati nella modellizzazione di sistemi aleatori.
Prerequisiti
Conoscenze elementari di teoria della probabilita'.
Programma del corso
Introduzione ai processi stocastici e richiami sulla probabilità condizionata.
Martingale (3 CFU):
- definizione in tempo discreto, esempi, prime proprietà;
- catene di Markov e lo caratterizzazione attraverso martingale;
- la martingala come strategia di gioco;
- disugualianza di Azuma-Hoeffding; disugualianza di Doob;
- teorema di convergenza delle martingale, Snell upcrossing inequality;
- tempo di arresto ed optional stopping theorem;
- decomposizione di Doob, cenni alle martingale in tempo continuo.
Moto Browniano (2 CFU):
- definizione, teorema di Donsker, prime proprieta' (Markov);
- il moto Browniano come processo gaussiano;
- hitting time; massimo in un intervallo di tempo; leggi arcoseno;
- moto Browniano con drift;
- martingale associate al moto Browniano;
- tempi di uscita da intervalli limitati;
- moto Browniano assorbito, riflesso , geometrico;
- processi di Markov a tempo continuo: semigruppo, generatore;
- processi di diffusione;
- integrale stocastico e formula di Ito
Processi di branching (1 CFU):
- probabilità di estinzione nel processo di Galton-Watson;
- martingale associate al processo di Galton-Watson;
- il caso esattamente solubile del branching geometrico;
- comportamento asintotico;
- applicazioni ai modelli di population genetics;
- dualità dei processi di Markov.
Metodi didattici
La didattica è basata, su lezioni frontali alla lavagna o tramite ausilio di lavagne virtuali (tablet), nelle quali la materia viene sviluppata nei dettagli formali e debitamente
commentata. Il corso prevede lezioni teoriche sugli argomenti descritti nella sezione "Contenuti del corso" ed esercitazioni dedicate alla soluzione di semplici problemi.
Le domande e gli interventi degli studenti sono graditi e incoraggiati.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico, saranno caricati su piattaforma Moodle. Si invita lo studente ad iscriversi ed a consultare tale piattaforma con regolarità.
Testi di riferimento
Oltre agli APPUNTI DEL DOCENTE (che coprono tutto il materiale del corso, si veda il link sulla pagina moodle) il testo di riferimento sara':
G. Grimmett, D. Stirzaker, "Probability and Random Processes",
Oxford University Press
Ulteriori testi possono essere:
Sheldom Ross, Stochastic processes, John Wiley and Sons, Inc.
S.R.S. Varadhan, Probability Theory, Courant Lecture Notes.
S.R.S. Varadhan, Stochastic processes, Courant Lecture Notes.
David Williams,, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks
Verifica dell'apprendimento
Esame scritto, volto a verificare la capacita' di risolvere problemi inerenti la teoria dei processi stocastici.
E' richiesta la soluzione di due o tre problemi divisi in piu' domande di eguale punteggio.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base dei processi stocastici, con particolare riguardo per le martingale ed il moto Browniano.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di individuare di applicare i processi stocastici nella modellizazione di fenomeni aleatori.
Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria capacita' di formulare risultati rigorosi nell'ambito dei processi stocastici.
Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto. Capacità di apprendimento: Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.