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Arrigo BONISOLI

Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica

Insegnamento: Geometria B

Matematica (D.M. 270/04) (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Completare le nozioni di Algebra Lineare fornite nei corsi di Algebra Lineare e Geometria. Fornire le nozioni fondamentali di Geometria Proiettiva. Una trattazione completa delle coniche e delle quadriche in ambito proiettivo, affine ed euclideo. Fornire le principali nozioni di topologia generale.

Prerequisiti

Le nozioni base di Algebra Lineare (strutture algebriche, calcolo matriciale, spazi vettoriali, funzioni lineari, autovalori ed autospazi) e di Geometria Affine ed Euclidea.

Programma del corso

Classi di operatori e matrici. Richiami su forme bilineari e quadratiche. Congruenza di matrici simmetriche. Teorema di Sylvester per le forme quadratiche reali. (3 CFU)

Spazi e sottospazi proiettivi. Proiettività. Riferimenti proiettivi omogenei. Equazioni di una proiettività. Cambiamenti di riferimento. Rappresentazione cartesiana dei sottospazi proiettivi. Ampliamento proiettivo di uno spazio affine. Punti propri e impropri. Birapporto di quattro punti allineati. Elementi uniti di una proiettività. Criteri di classificazione delle omografie; omologie piane. (3 CFU)

Quadriche degli spazi proiettivi. Rango di una quadrica. Iperpiano polare. Intersezione di una quadrica con una retta. Punti doppi. Iperpiano tangente. Classificazione proiettiva. Punti, parabolici, iperbolici, ellittici. Quadriche degli spazi affini. Iperpiani diametrali e centro di una quadrica non specializzata. Classificazione affine. Quadriche degli spazi euclidei. Iperpiani principali. Assi. Forme canoniche. Fuochi e direttrici. Fasci di coniche. (3 CFU)

Elementi di topologia. Punti interni, esterni e di frontiera. Punti aderenti, isolati e di accumulazione. Spazi metrici. Applicazioni continue; omeomorfismi. Sottospazi, prodotti e quozienti. Modelli topologici dello spazio proiettivo reale. Assiomi di separazione. Spazi di Hausdorff; limiti di funzioni; unicità del limite. Assiomi di numerabilità (cenni). Compattezza. Teoremi di Heine-Borel e di Bolzano-Weiertrass. Compattezza locale. Compattificazione di Alexandroff. La n-sfera come compattificazione di R^n. Connessione e connessione per archi. (6 CFU)

Metodi didattici

Lezioni frontali in presenza in aula. Comprendono teoria ed esercizi per l'applicazione dei concetti e procedimenti. La lingua di erogazione è l'italiano. La frequenza delle lezioni non è obbligatoria ma è vivamente consigliata.

Il materiale didattico sulla piattaforma MOODLE dell'insegnamento comprende esempi di esercizi svolti, esempi di prove scritte anche intermedie, esercizi per l'autovalutazione dello studente. Questo materiale costituirà il riferimento e il supporto principale per gli studenti che non possono frequentare le lezioni.

Testi di riferimento

Testi in italiano consigliati per la consultazione.

C. GAGLIARDI, L. GRASSELLI, Algebra lineare e Geometria, Vol. 3, Società Editrice Esculapio, Bologna, 1993.

M.R.CASALI, C. GAGLIARDI, L. GRASSELLI, Geometria, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2016.

E. SERNESI, Geometria 1-2, Bollati Boringhieri, Torino, 1989-1994.

Verifica dell'apprendimento

La verifica dell'apprendimento avviene in due fasi: prova scritta e colloquio orale. La prova scritta, della durata di due ore, consiste nella risoluzione di esercizi standard, simili a quelli proposti durante le lezioni. Per essere ammesso a sostenere il colloquio orale lo studente deve conseguire nella prova scritta una votazione non inferiore a 18/30.
I colloqui orali dei candidati ammessi si svolgono appena terminata la correzione della prova scritta. Il colloquio dura in media trenta minuti e consiste in una discussione dei concetti esposti durante le lezioni, definizioni, risultati principali e relative dimostrazioni, nonchè il collegamento logico tra i vari concetti studiati. La votazione finale viene decisa al termine del colloquio orale e tiene conto principalmente della correttezza dei ragionamenti, dei collegamenti tra i vari concetti e della precisione dell'esposizione: tanto più saranno raggiunti questi obiettivi, tanto maggiore sarà il punteggio finale.

Risultati attesi

- Conoscenza e capacità di comprensione.
Tramite lezioni in aula e studio individuale, al termine del corso lo studente dovrà
possedere le conoscenze di base relative alle forme canoniche di operatori lineari, alla geometria proiettiva, alla teoria delle iperquadriche negli spazi geometrici (proiettivi, affini ed euclidei), alla topologia generale.

-Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Tramite le esercitazioni in aula e il lavoro individuale, al termine del corso lo studente dovrà
avere imparato a risolvere problemi di tipologia standard, simili a quelli presentati in classe.

-Autonomia di giudizio.
Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di riconoscere in modo autonomo diversi approcci e metodi risolutivi per alcune problematiche tipiche della geometria, sviluppando l'attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e le tecniche presentate.

-Abilità comunicative.
Al termine del corso lo studente dovrà essere in grado di relazionare sugli argomenti trattati nel corso, in modo rigoroso con un linguaggio matematico appropriato e un formalismo matematico corretto.

-Capacità di apprendimento.
Al termine del corso lo studente dovrebbe raggiungere una certa capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità, da utilizzare in attività di studio autonomo di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.