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Luigi GRASSELLI

Professore Ordinario presso: Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria


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Pubblicazioni

2018 - Combinatorial properties of the G-degree [Articolo su rivista]
Casali, M. R.; Grasselli, L.
abstract

A strong interaction is known to exist between edge-colored graphs (which encode PL pseudo-manifolds of arbitrary dimension) and random tensor models (as a possible approach to the study of Quantum Gravity). The key tool is the "G-degree" of the involved graphs, which drives the 1/N expansion in the tensor models context. In the present paper - by making use of combinatorial properties concerning Hamiltonian decompositions of the complete graph - we prove that, in any even dimension d greater or equal to 4, the G-degree of all bipartite graphs, as well as of all (bipartite or non-bipartite) graphs representing singular manifolds, is an integer multiple of (d-1)!. As a consequence, in even dimension, the terms of the 1/N expansion corresponding to odd powers of 1/N are null in the complex context, and do not involve colored graphs representing singular manifolds in the real context. In particular, in the 4-dimensional case, where the G-degree is shown to depend only on the regular genera with respect to an arbitrary pair of "associated" cyclic permutations, several results are obtained, relating the G-degree or the regular genus of 5-colored graphs and the Euler characteristic of the associated PL 4-manifolds.


2018 - Topology in colored tensor models via crystallization theory [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Cristofori, Paola; Dartois, Stèphane; Grasselli, Luigi
abstract

The aim of this paper is twofold. On the one hand, it provides a review of the links between random tensor models, seen as quantum gravity theories, and the PL-manifolds representation by means of edge-colored graphs (crystallization theory). On the other hand, the core of the paper is to establish results about the topological and geometrical properties of the Gurau-degree (or G-degree) of the represented manifolds, in relation with the motivations coming from physics. In fact, the G-degree appears naturally in higher dimensional tensor models as the quantity driving their 1/N expansion, exactly as it happens for the genus of surfaces in the two-dimensional matrix model setting. In particular, the G-degree of PL-manifolds is proved to be finite-to-one in any dimension, while in dimension 3 and 4 a series of classification theorems are obtained for PL-manifolds represented by graphs with a fixed G-degree. All these properties have specific relevance in the tensor models framework, showing a direct fruitful interaction between tensor models and discrete geometry, via crystallization theory.


2017 - G-degree for singular manifolds [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Cristofori, Paola; Grasselli, Luigi
abstract

The G-degree of colored graphs is a key concept in the approach to Quantum Gravity via tensor models. The present paper studies the properties of the G-degree for the large class of graphs representing singular manifolds (including closed PL manifolds). In particular, the complete topological classification up to G-degree 6 is obtained in dimension 3, where all 4-colored graphs represent singular manifolds.


2017 - Giuseppe Sforza [Capitolo/Saggio]
Anceschi, Fabrizio; Grasselli, Luigi
abstract

Viene delineata la figura del matematico Giuseppe Sforza (1858-1927), recentemente impostasi all'attenzione della comunità scientifica, nell'ambito della Topologia Geometrica, come precursore nello studio dei metodi di calcolo dei volumi dei poliedri in ambito non-euclideo. Di particolare rilievo è infatti una formula per determinare il volume di un qualunque tetraedro iperbolico o sferico, in funzione dei suoi angoli diedrali, da lui ottenuta nel 1907 e ormai nota come "formula di Sforza". L'articolo, che si colloca nell'ambito della Storia della Matematica, illustra brevemente la vita, l'attività didattica e, soprattutto, l'attività di ricerca di questo scienziato, quasi del tutto sconosciuta (a parte la formula) nell'ambito della comunità scientifica, ricostruendo una bibliografia completa delle sue opere.


2017 - Health Risk Assessment per esposizione occupazionale a sostanze chimiche cancerogene e non cancerogene nel riciclo di rifiuti di apparecchiature elettriche e elettroniche (RAEE): dati dal progetto WeeenModels. [Abstract in Atti di Convegno]
Modenese, A; Ferrari, Am; Gamberini, R; Grasselli, L; Neri, P; Pini, M; Rimini, B; Vinceti, M; Violi, F; Gobba, F.
abstract

Health Risk Assessment per esposizione occupazionale a sostanze chimiche cancerogene e non cancerogene nel riciclo di rifiuti di apparecchiature elettriche e elettroniche (RAEE): dati dal progetto WeeenModels.


2017 - Reflejos de la Alhambra en el universo de Escher [Capitolo/Saggio]
Costa, Antonio F.; Grasselli, Luigi
abstract

Il saggio, che appare nel catalogo della mostra citata dedicata a M. C. Escher, descrive la geometria sottesa al tema della divisione regolare del piano (euclideo o iperbolico), uno dei principali motivi ispiratori delle incisioni dell'artista olandese a partire dalla prima visita di Escher all'Alhambra di Granada.


2016 - Assessing cancer risk from heavy metal exposure in recycling waste of electrical and electronic equipment: preliminary results from the Weeenmodels European Life Programme. [Abstract in Atti di Convegno]
Violi, Federica; Modenese, Alberto; Gobba, Fabriziomaria; Ferrari, Anna Maria; Rimini, Bianca; Gamberini, Rita; Pini, M; Neri, P; Filippini, Tommaso; Grasselli, Luigi; Montanari, P; Vinceti, Marco
abstract

Introduction The growing amount of waste derived from electrical and electronic equipment (WEEE) poses significant challenges to waste management, due to the presence of toxic chemicals with environmental and health implications for the general population and for occupationally-exposed workers. Methods Based on an toxicological and epidemiologic evaluation, we carried out a health risk assessment to evaluate the cancer risk deriving from environmental and occupational exposure to heavy metals released during different WEEE recycling procedures (electronic scrap in blister copper, treatment of metals recovery in copper smelter, treatment of shredding, pyrometallurgical treatment of Li-ion battery). We considered the typical WEEE production in a municipality of 150.0000 inhabitants, carrying out a Life Cycle Assessment. Outdoor (1km2 around a treatment plant) and indoor (for a factory volume of 3200m3) emissions generated during the WEEE recycling procedures were computed. In particular, we estimated the amount of Cd, Ni and As inhaled by the potentially exposed population. We computed the cancer risk due to inhalation of these heavy metals in residents and workers using the methodology proposed by the California Office of Environmental Health and Hazard Assessment Results For the metals considered, our results showed negligible cancer risk (from 2,21x10-11 to 4,31x10-08) for the general population around the plant. On the converse, occupational exposures linked to specific procedures were associated with a cancer risk of 1,42x10-3 for workers in the shredding procedures mainly due to Ni exposure, and of 4,68x10-4 for workers with electronic scrap and exposed to As. Conclusions Based on our preliminary results from an integrated toxicological and epidemiologic approach, WEEE life cycle may be linked to health risks for workers in the recycling procedures, while it does not seem to adversely affect health of the general population around the treatment plants.


2016 - CANCER RISK FROM HEAVY METAL EXPOSURE IN RECYCLING WASTE OF ELECTRICAL AND ELECTRONIC EQUIPMENT: PRELIMINARY RESULTS FROM THE WEEENMODELS EUROPEAN LIFE PROGRAM [Abstract in Atti di Convegno]
Violi, Federica; Modenese, Alberto; Gobba, Fabriziomaria; Ferrari, Anna Maria; Rimini, Bianca; Gamberini, Rita; Pini, Martina; Neri, Paolo; Filippini, Tommaso; Grasselli, Luigi; Montanari, Pinuccia; Vinceti, Marco
abstract

Background and objectives: When electrical and electronic equipment reaches its end of life, it becomes ‘Waste Electrical and Electronic Equipment’ (WEEE). The growing amount of this type of waste has posed significant challenges to waste management, since WEEE contains a whole range of toxic chemicals having relevant environmental and health implications. The WEEE life cycle may expose the general population and workers to various toxic chemicals, such as heavy metals. We conducted a health risk assessment to evaluate the cancer risk derived from environmental and occupational exposure to trace elements from different recycling procedures (electronic scrap in blister copper, treatment of metals recovery in copper smelter, treatment of shredding, pyrometallurgical treatment of Li-ion battery). We considered the typical production of WEEE in a municipality of 150.0000 inhabitants, where a Life Cycle assessment (LCA) was carried out. Methods: Outdoor (1km2 around a WEEE treatment plant) and indoor (factory volume of 3200m3) emissions generated from the above-mentioned procedures were computed, to perform a health risk assessment for occupationally-exposed workers and for the general population around the plant. Dose of the heavy metals cadmium, nickel, arsenic inhaled by the potentially exposed population was estimated using the values obtained through a toxicological model. Cancer risk due to inhalation was calculated using the method proposed by the California Office of Environmental Health and Hazard Assessment. Results and Conclusions: For the heavy metals considered, generated from WEEE treatment, these preliminary results show negligible cancer risk for the general population. On the converse, some risks may be present for occupational exposures linked to specific procedures (from cancer risk of 1,42x10-3 for men working in shredding procedure and exposed to nickel to cancer risk of 4,68x10- 4 for women working with electronic scrap and exposed to arsenic).


2016 - Esposizione occupazionale negli addetti alle attività di riciclo e riuso dei rifiuti di apparecchiature elettriche e elettroniche (RAEE): dati preliminari dal progetto WEEENMODELS. [Abstract in Atti di Convegno]
Modenese, A.; Violi, F.; Pini, M.; Gioia, T. C.; Ferrari, A. M.; Gamberini, R.; Grasselli, L.; Montanari, G.; Neri, P.; Rimini, B.; Vinceti, M.; Gobba, F.
abstract

Esposizione occupazionale negli addetti alle attività di riciclo e riuso dei rifiuti di apparecchiature elettriche e elettroniche (RAEE): dati preliminari dal progetto WEEENMODELS.


2016 - GEOMETRIA [Monografia/Trattato scientifico]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti dei vari Corsi di Laurea in Ingegneria, e di quelli in Matematica, Fisica ed Informatica. Il testo è suddiviso in due parti: - la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare; - la seconda, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche. L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Un ruolo significativo viene attribuito a Osservazioni ed Esempi atti a: - chiarire concetti, risultati, dimostrazioni; - stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti; - motivare la genesi dei concetti e dei problemi; - evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale; - indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria. Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso. Definizioni, Proposizioni e Osservazioni sono dotati di una numerazione progressiva all'interno di ogni Capitolo; l'esposizione della teoria è arricchita inoltre da esempi notevoli, con numerazione autonoma all'interno di ogni Capitolo. Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie. Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti e i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note. La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari. La presente III edizione risulta integrata, rispetto a quelle precedenti, in primo luogo con l'introduzione di test di valutazione al termine di ciascuna delle due parti (Algebra lineare e Geometria euclidea) in cui il testo è suddiviso, rendendo così possibile al lettore una verifica del proprio livello di comprensione delle tematiche trattate. È stata inoltre realizzata una rivisitazione sostanziale di alcuni argomenti (in pa


2016 - WEEENmodels: la gestione sostenibile dei rifiuti elettrici ed elettronici (RAEE) [Curatela]
Ferrari, Anna Maria; Grasselli, Luigi; Montanari, Giuseppina
abstract

Il sistema europeo di raccolta dei RAEE è stato introdotto con la Direttiva 2002/96/EC che ha richiesto agli Stati membri di avviare specifiche iniziative al fine di raggiungere importanti obiettivi di raccolta. La recente Direttiva europea 2012/19/UE ha introdotto alcuni elementi di innovazione per arrivare ad obiettivi di riciclo più elevati e per definire nuovi obblighi a carico dei distributori. Particolare attenzione è stata posta sui cosiddetti “piccoli” RAEE, di lunghezza inferiore ai 50 cm., la cui raccolta è inferiore rispetto alle altre categorie di RAEE. In Italia, il D.Lgs. 49/2014 che recepisce la Direttiva europea, ha posto l’accento sulla priorità delle operazioni di riutilizzo e riuso dei RAEE e dei relativi componenti. Il progettoWeeenmodels, finanziato nell’ambito del Programma LIFE+ 2012, ha lo scopo di applicare un nuovo modello di raccolta dei RAEE domestici, ovvero un sistema che minimizzi i costi di servizio e organizzi l’offerta, secondo modalità stabili e sistematiche. L’obiettivo principale diWeeenmodels è quello di dimostrare che, attraverso l’applicazione di un efficiente sistema logistico ed un coordinamentocentralizzato dei servizi di raccolta è possibile ottenere e anche superare i target di raccolta definiti dalla direttiva europea.


2015 - La cultura matematica al tempo di Piero della Francesca: dalla tradizione abachistica alla rinascita della geometria [Capitolo/Saggio]
Luigi, Grasselli
abstract

Viene analizzato il ruolo di Piero della Francesca nella storia del pensiero matematico, evidenziando in particolare il suo contributo fondamentale alla ripresa di interesse, nel Quattrocento, verso le discipline geometriche. Vengono messi in rilievo i contributi originali di Piero in campo algebrico (algoritmi risolutivi di classi di equazioni algebriche), nello studio dei poliedri e, principalmente, negli aspetti teorici della Prospettiva, per la prima volta oggetto di studio come disciplina scientifica autonoma. In quest'ultimo ambito sono numerose le idee presenti nei trattati di Piero che anticipano aspetti successivamente sviluppati in modo organico nel contesto della Geometria Proiettiva.


2015 - Linee Guida OE+V (Offerta Economicamente più vantaggiosa) [Curatela]
Curcio (Direzione Scientifica), Silvano; Storchi, Marco; Laura Simeone, Maria; Conio, Paola; Faviere, Marcello; Grasselli, Luigi; Saba, Stefano; Scudellari, Enzo
abstract

Il Volume cosituisce il Quaderno n.3 di Patrimoni PA net e propone indirizzi e istruzioni per una corretta applicazione del metodo denominato "Offerta economicamente più vantaggiosa" nelle gare d'appalto di servizi di Facility Management. Il mio personale contributo riguarda coordinamento, redazione e collaborazione alla stesura relativamente ai contenuti matematici illustrati nelle sezioni II (indirizzi metodologici) e III (istruzioni per l'uso).


2015 - Piero della Francesca - Il disegno tra arte e scienza [Esposizione]
Camerota, Filippo; Paolo Di Teodoro, Francesco; Grasselli, Luigi
abstract

Curatela della Mostra "Piero della Francesca - Il disegno tra arte e scienza", Reggio Emilia, Palazzo Magnani, 14 marzo - 14 giugno 2015. Esposizione/Mostra dedicata alla attività grafica e teorica di Piero della Francesca: viene esposto l'intero corpus di manoscritti realizzati dall'artista e scienziato di Sansepolcro, partendo dal "De prospectiva Pingendi", primo manuale di disegno dedicato all'illustrazione delle rigole prospettiche. Ai 7 testimoni di questo trattato, si aggiungono i due codici del "Trattato d'Abaco" il codice unico "Libellus de quinque corporibus regolaribus" e l'esemplare delle opere di Archimede illustrato da disegni originali dell'Autore. Integrata da altre opere e trattati su disegno, architettura e prospettiva, nonchè da modelli geometrici appositamente realizzati, la mostra illustra la feconda intersezione di arte e scienza nell'opera di Piero della Francesca e nel generale contesto Rinascimentale


2014 - Algebra lineare e geometria [Altro]
Grasselli, Luigi; Landi, Claudia; Barani, Angiolina
abstract

Il presente testo propone prove di verifica formativa relative agli argomenti tradizionalmente trattati nei corsi universitari di Algebra Lineare e Geometria degli Spazi Euclidei. Per ogni argomento, vengono proposti e risolti due tipi di prove: Si parte con una successione di quiz a risposta multipla, aventi lo scopo di fornire allo studente uno strumento di autovalutazione del grado di conoscenza degli aspetti più teorici della materia; Una volta verificato, attraverso i quiz, il raggiungimento di una soddisfacente padronanza dei concetti teorici di base, lo studente può misurare la sua capacità di applicare tali strumenti in contesti concreti, affrontando la seconda tipologia di prove consistenti in esercizi numerici di tipo tradizionale. La presente edizione risulta integrata, rispetto a quella precedente, da quiz ed esercizi riguardanti la teoria delle coniche e delle quadriche sviluppata nel contesto dell’ampliamento proiettivo degli spazi euclidei.


2014 - Opening talk (meeting "Computational and Geometric Topology", Bertinoro (Italy), 17.19-06-2010). [Articolo su rivista]
Grasselli, L.
abstract

This paper contains the text of the opening talk given by the author in the meeting "Computational and Geometric Topology", Bertinoro (Italy), 17.19-06-2010.


2013 - L'enigma Escher: paradossi grafici tra arte e geometria [Esposizione]
Grasselli, Luigi; Bussagli Marco, Giudiceandrea Federico
abstract

Curatela delle mostre "L'enigna Escher: paradossi grafici tra arte e geometria" (e del relativo catalogo) a Palazzo Magnani (RE) dal 19.10.2013 al 23.2.2014 e al Filatoio Rosso di Caraglio (CN) dal 29.3.2014 al 29.6.2014.


2013 - Le forme della simmetria: dai mosaici dell'Alhambra ai mondi di Escher [Capitolo/Saggio]
Luigi Grasselli; Antonio F. Costa
abstract

Il saggio, che appare nel catalogo della mostra citata dedicata all'artista olandese M.C.Escher, presenta la teoria geometrica della simmetria, legata ai gruppi delle simmetrie isometriche nel piano euclideo, con particolare riguardo al tema della divisione periodica del piano, elemento essenziale di numerose opere di Escher. Il saggio appare anche nei cataloghi delle successive mostre "Escher", Roma, Chiostro del Bramante, 20.9.2014 - 22.2.2015 e Bologna, Palazzo Albergati, 12.3 - 19.7 2015 (ISBN 885722815).


2011 - Computational aspects of crystallization theory: complexity, catalogues and classifications of 3-manifolds [Articolo su rivista]
P. Bandieri; M. R. Casali; P. Cristofori; L. Grasselli; M. Mulazzani
abstract

The present paper is a survey of up-to-date results in 3-dimensional crystallization theory, in particular along the following directions:- generation and analysis of catalogues of PL-manifolds for increasing values of the vertex number of the representing graphs;- definition and/or computation of invariants for PL-manifolds, directly from the representing graphs.In particular, with regard to PL-manifold invariants, the authors focus on gems considered as an useful tool for computing Matveev complexity.


2011 - Presentazione [Leonardo] [Prefazione o Postfazione]
L. Grasselli
abstract

Prefazione al volume riguardante gli aspetti matematici e geometrici sottesi alla figura dell'Uomo Vitruviano di Leonardo da Vinci


2010 - GEOMETRIA [Monografia/Trattato scientifico]
M. R. Casali; C. Gagliardi; L. Grasselli
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti delle Facoltà di Ingegneria e dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica ed Informatica. Il testo è suddiviso logicamente in due parti: - la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare; - la seconda parte, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche. La presente edizione risulta integrata, rispetto a quella precedente, da una rivisitazione sostanziale della teoria delle coniche e delle quadriche, dall'inserimento di nuovi argomenti e complementi (algebre di Boole, isometrie del piano euclideo...), oltre che dalla aggiunta di nuove osservazioni ed esempi lungo tutto lo sviluppo del testo.L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Particolare rilievo viene attribuito ad Osservazioni ed Esempi atti a: - chiarire concetti, risultati, dimostrazioni; - stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti; - motivare la genesi dei concetti e dei problemi; - evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale; - indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria. Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso. Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, in modo sintetico, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie. Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti ed i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note. La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari.


2010 - “Computational and Geometric Topology” - A conference in honour of Massimo Ferri and Carlo Gagliardi on their 60-th birthday. [Altro]
P. Bandieri; M.R. Casali; A. Cattabriga; P. Cristofori; P. Frosini;L. Grasselli; C. Landi; M. Mulazzani
abstract

La conferenza ha inteso mettere in contatto ricercatori provenienti sia dall'ambito matematico che da quello ingegneristico, accomunati dall'interesse per tecniche topologiche di carattere geometrico e computazionale. Questi strumenti di ricerca sono essenziali in vari settori scientifici e per molteplici classi di applicazioni. In topologia geometrica risultano di particolare importanza le ricerche in teoria dei nodi, connesse allo studio di strutture biologiche (p.e. il confronto di dati genetici) e in fisica (con particolare riferimento alla teoria delle stringhe). La topologia computazionale si è invece rivelata indispensabile per la descrizione di forme al calcolatore e per la loro comparazione, con conseguenti ricadute nelle applicazioni che richiedono manipolazione grafica, confronto di modelli e reperimento di informazioni visuali. Tutto ciò ha ovvie importanti ricadute nel trattamento di dati in Internet. Tutti questi ambiti applicativi richiedono lo sviluppo di nuovi approcci teorici e competenze fortemente e intrinsecamente interdisciplinari, che l'iniziativa ha favorito.Il convegno si è articolato in sei conferenze su invito, tenute da alcuni tra i massimi esperti internazionali, della durata di 50 minuti ciascuna e da numerose comunicazioni di 30 minuti. Ha vauto lo scopo di divulgare nuovi risultati in Topologia Geometrica e Computazionale, ed ha coinvolto sia docenti che giovani ricercatori, nonché studenti di dottorato di ricerca in Matematica e/o in Ingegneria.Conferenzieri principali:Herbert Edelsbrunner (Duke University, Durham, NC, USA) Tomasz Kaczynski (Université de Sherbrooke, Canada)Sóstenes Lins (Departamento de Matemática, UFPE, Brasile)Sergei Matveev (Chelyabinsk State University, Russia) José María Montesinos (Universidad Complutense, Madrid, Spagna)Marian Mrozek (Jagiellonian University, Kraków, Polonia)


2009 - Seifert manifolds and (1,1)-knots [Articolo su rivista]
L. Grasselli; M. Mulazzani
abstract

The aim of this paper is to investigate the relations between Seifert manifolds and (1,1)-knots. In particular, we prove that each orientable Seifert manifold with invariants{Oo,0| -1; (p,q),..., (p,q),(l, l-1)}, where (p,q) are taken n times, has a cyclically presented fundamental group and, moreover, it is the n-fold strongly-cyclic covering of the lens space L(|nlq - p|, q), branched over a suitable (1,1)-knot.


2008 - Piero della Francesca, la Matematica e la Prospettiva [Capitolo/Saggio]
L. Grasselli
abstract

Vengono analizzati e commentati gli aspetti geometrici dell'opera De Prospectiva Pingendi, di Piero della Francesca, dedicata allo studio e alla illustrazione delle tecniche e regole prospettiche. Viene messo in rilievo il ruolo di Piero della Francesca nella storia della matematica, in particolare per quanto riguarda la ripresa di interesse nello studio della geometria. Attraverso l'analisi del testo e dei numerosi disegni, si evidenzia il contributo fondamentale dell'opera alla nascita della prospettiva come autonoma disciplina scientifica e al successivo sviluppo della geometria proiettiva.


2005 - Algebra lineare e geometria [Altro]
A. Barani; L. Grasselli; C. Landi
abstract

Quiz ed esercizi commentati e risolti


2001 - Genus one 1-bridge knots and Dunwoody manifolds [Articolo su rivista]
L. Grasselli; M. Mulazzani
abstract

In this paper we show that all 3-manifolds of a family introduced by M. J. Dunwoody are cyclic coverings of lens spaces (possibly S3), branched over genus one 1-bridge knots. As a consequence, we give a positive answer to the Dunwoody conjecture that all the elements of a wide subclass are cyclic coverings of S3 branched over a knot. Moreover, we show that all branched cyclic coverings of a 2-bridge knot belong to this subclass; this implies that the fundamental group of each branched cyclic covering of a 2-bridge knot admits a geometric cyclic presentation.


2001 - Geometria [Monografia/Trattato scientifico]
M. CASALI; L. GRASSELLI; C. GAGLIARDI
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti delle Facoltà di Ingegneria e dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica ed Informatica.Il testo è suddiviso logicamente in due parti:- la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare;- la seconda parte, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche.L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Particolare rilievo viene attribuito ad Osservazioni ed Esempi atti a:- chiarire concetti, risultati, dimostrazioni;- stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti;- motivare la genesi dei concetti e dei problemi;- evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale;- indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria.Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso.Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, in modo sintetico, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie.Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti ed i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note.La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari.


2001 - Presentations of Morse homology for studying shape of manifolds [Working paper]
F. Cagliari; C. Landi; L. Grasselli
abstract

A new paradigm for describing the shape of manifolds is presented,with a particular regard to applications in pattern recognition.Given a Morse function f defined on a closed smooth manifoldM, the shape of the pair (M,f) is represented by the evolutionof the homology groups of the lower level sets of M with respect to f. The main tool is classical Morse theory. Analgorithm for treating the case of orientable surfaces is given.


2000 - 2-symmetric transformations for 3-manifolds of genus 2 [Articolo su rivista]
L. Grasselli; M. Mulazzani; R. Nedela
abstract

As previously known. all 3-manifolds of genus 2 can be represented by edge-coloured graphs uniquely defined by 6-tuples of integers satisfying simple conditions. The present paper describes an elementary transformation on these 6-tuples which changes the associated graph but does not change the represented manifold. This operation is a useful tool in the classification problem for 3-manifolds of genus 2; in fact, it allows an equivalence relation to be defined on admissible 6-tuples so that equivalent 6-tuples represent the same manifold. Different equivalence classes can represent the same manifold; however, equivalence classes "almost always" contain infinitely many 6-tuples. Finally, minimal representatives of the equivalence classes are described.


1998 - Presentazione [Notizie sulla vita e su gli scritti di Paolo Ruffini] [Prefazione o Postfazione]
L. Grasselli
abstract

Presentazione al libro: Notizie sulla vita e su gli scritti di Paolo Ruffini


1998 - Tetrahedron manifolds via coloured graphs [Articolo su rivista]
L. Grasselli; S. Piccarreta
abstract

In his paper "Tetrahedron manifolds and space forms", E. Molnar describes an infinite class of 3-manifolds (depending on two natural integers m, n) by means of suitable face identifications on a tetrahedron. These manifolds can be represented by edge-coloured graphs. By making use of these combinatorial techniques, it is easy to show that they are 2-fold coverings of the 3-sphere, branched over suitable links. This immediately leads to the classification of these manifolds in terms of Seifert fibered spaces.


1997 - Crystallizations of generalized Neuwirth manifolds [Articolo su rivista]
Grasselli L.; Piccarreta S.
abstract

It is well known that every Heegaard diagram canonically induces a (balanced) presentation of the fundamental group of the represented 3-manifold. Given a group presentation P, let M(P) denote the class of all 3-manifolds which admit a Heegaard diagram inducing P; if M(P) is nonvoid, then P is said to be a geometric group presentation. The present paper makes use of the manifold representation theory by edge-coloured graphs in order to derive a new algorithm, which efficiently tests the geometricity of the presentation P and produces crystallizations of all 3-manifolds of M(P). Moreover, this new approach allows to construct crystallizations of a wide class of Seifert fibered 3-manifolds, which generalizes, in a natural way, the so-called Neuwirth manifolds (introduced by Neuwirth as an application of his own geometricity algorithm).


1996 - Coloured knots and permutations representing 3-manifolds [Articolo su rivista]
L. GRASSELLI
abstract

It is known that every closed orientable 3-manifold can be represented by coloured knots, edge-coloured graphs or transitive permutation pairs. The present paper describes some relations between these representation theories: in particular, it is shown how to obtain a transitive permutation pair representing a 3-manifold M, starting from a coloured knot representing M.


1995 - Heegaard and regular genus of 3-manifolds with boundary [Articolo su rivista]
Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

By means of branched coverings techniques, we prove that the Heegaard genus and the regular genus of an orientable 3-manifold with boundary coincide.


1995 - Standard presentations for 3-manifolds groups [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

Sunto. E' noto che ogni varietà orientabile può essere rappresentata da grafi colorati sugli spigoli o mediante coppie transitive di permutazioni. Nel presente articolo si studiano le relazioni che legano tra loro questi due metodi di rappresentazione; ciò consente di descrivere un insieme di presentazioni positive di gruppi tale che la famiglia di gruppi presentati coincide esattamente con quella dei gruppi fondamentali delle 3-varietà orientabili.


1995 - The groups G(n,l) as fundamental groups of Seifert fibered homology spheres [Relazione in Atti di Convegno]
L. Grasselli
abstract

By means of geometric techniques, concerning Seifert fibered homology spheres, we prove that the groups G(n,l), defined by a balanced presentation with n generators and relators, depending on a pair of integers which are odd and coprime, are pairwise non-isomorphic. Extensions of results obtained by A.Cavicchioli and by D.L.Johnson - R.M.Thomas are thus described.


1994 - Generalized Lins-Mandel spaces and branched coverings of S3 [Working paper]
L. Grasselli; M. Mulazzani
abstract

Lins-Mandel spaces are 3-manifolds represented by "highly-symmetric" edge-coloured graphs. The paper describes the topological structure of Lins-Mandel spaces in terms of branched coverings of the 3-sphere and illustrates generalizations of these spaces.


1993 - Representing products of polyhedra by products of edge-coloured graphs [Articolo su rivista]
C. GAGLIARDI; L. GRASSELLI
abstract

Given an (m+1)-coloured graph G' and an (n+1)-coloured graph G", representig two polyhedra P' and P" respectively, we present a direct constuction of an (m+n+1)-coloured graph G"', which represents the product P'x P". Some examples, applications, lower and upper bounds and conjectures abour the genus of product manifolds are also presented.


1992 - Algebra lineare e Geometria - Volume 1 [Monografia/Trattato scientifico]
C. GAGLIARDI; L. GRASSELLI
abstract

Il volume costituisce una introduzione all'algebra lineare.


1992 - Algebra lineare e Geometria - Volume 2 [Monografia/Trattato scientifico]
C. GAGLIARDI; L. GRASSELLI
abstract

Il volume presenta una introduzione agli spazi affini ed euclidei.


1992 - Universal coverings of pl-manifolds via coloured graphs [Articolo su rivista]
COSTA A. F.; L. GRASSELLI
abstract

By means of techniques and results concerning maps on surfaces and edge-coloured graphs representing PL-manifolds, we prove the existence of an infinite ball complex P(n), n > 1, such that every orientable PL-manifold of dimension n is a quotient of |P(n)| by the action of a finite index subgroup of a Fuchsian group. The core of the proof is that all orientable PL-manifolds of dimension n can be represented by edge-coloured graphs which are quotients of a universal graph, only depending on n.


1991 - 2-symmetric crystallizations and 2-fold branched coverings of S3 [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Grasselli, Luigi
abstract

For each integer g>1, a class $M_g$ of “2-symmetric” crystallizations, depending on a 2(g+1)-tuple of positive integers satisfying simple conditions is introduced; the “2-symmetry” implies that the represented closed, orientable 3-manifolds are 2-fold covering spaces of $S^3$ branched over a link. Since every closed, orientable 3-manifold M of Heegaard genus $g \le 2$ admits a crystallization belonging to $M_g$, we obtain an easy proof og the fact that M is a 2-fold covering spaces of $S^3$ branched over a link. Further, the class contains all Lins-Mandel crystallizations S(b,l,t,c), with l odd, which are thus proved to represent 2-fold branched coverings of $S^3$.


1991 - Algebra lineare e Geometria - Volume 3 [Monografia/Trattato scientifico]
C. GAGLIARDI; L. GRASSELLI
abstract

Il testo contiene complementi di algebra lineare, introduzione agli spazi proiettivi ed una trattazione completa delle quadriche negli spazi proiettivi, affini ed euclidei.


1990 - 3-Manifold Spines and Bijoins [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

Abstract. We describe a combinatorial algorithm for constructing all orientable 3-manifolds with a given standard bidimensional spine by making use of the idea of bijoin over a suitable pseudosimplicial triangulation of the spine.


1990 - Wave moves on crystallizations [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Grasselli, Luigi
abstract

In this paper, the relations between the notions of “wave move” (by Homma-Ochiai) and “frame” (by Tsukui) are investigated. A genus three frame of $S^3$ is produced, giving a counterexample to a conjecture of Tsukui; on the contrary, the conjecture is proved to be true in genus two.


1989 - Representing branched coverings by edge coloured graphs [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Grasselli, Luigi
abstract

Given a link L in $S^3$, we describe a standard method for constructing a class $\Gamma_{L,d}$ of 4-coloured graphs representing all closed orientable 3-manifolds which are d-fold coverings of $S^3$ branched over the link L.


1988 - Characterizing crystallizations among Lins-Mandel 4-coloured graphs [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Grasselli, Luigi
abstract

In [Discr. Math. 57 (1985), 261-284], Lins and Mandel introduce a class of 3-manifolds represented by 4-coloured graphs S(b,l,t,c) depending on a 4-tuple (b,l,t,c) of positive integers; moreover, they prove that, if the following conditions hold $(b,c)=1$, $(l,t)=1$, $c=(-1)^t$ if l odd, then S(b,l,t,c) is a crystallization of an (orientable) 3-manifold.In this paper we show that the above conditions are also necessary: hence, they characterize crystallizations among Lins-Mandel graphs.


1988 - Heegaard diagrams, graphs and 3-manifold spines [Articolo su rivista]
P. BANDIERI; A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

We study the relations between some well-known graph-theoretical representations of closed 3-manifolds as P-graphs, RR-systems, Heegaard diagrams and crystallizations. As a consequence of the interplay between the theories, we prove some theorems which improve the geometric knowledge of the named representations. Finally, we show the strict connection of the results with the theory of 3-manifold spines.


1988 - Minimal dissections of bordered manifolds [Articolo su rivista]
A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

We construct minimal (with respect to vertices) pseudo-dissections for any connected piecewise-linear n-manifold with boundary. As a consequence, we obtain ball coverings for bordered manifolds with nice intersection properties. Then we give a graph-theoretical description of these results.


1988 - Multiple-coloured graphs and pseudocomplexes [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

We prove that each pseudocomplex can be represented by a suitable graph with cover. The construction generalizes the representation of a particular class of pseudocomplexes by means of edge-coloured graphs.


1987 - Crystallizations and other manifold representations [Working paper]
L. Grasselli
abstract

This is a survey on Crystallization theory and on its relations with other well-known manifold representations defined in dimension 3 (Heegaard diagrams and branched coverings of the 3-sphere).


1987 - Rivestimenti ramificati della 3-sfera [Working paper]
L. Grasselli
abstract

The paper is a survey on different ways of representing all closed orientable 3-manifolds as branched coverings of the 3-sphere and shows the relationship with the representation of pl-manifolds by means of edge-coloured graphs.


1987 - Simple contracted complexes are nonshellable [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

We show that the existence of pseudosimplicial nonshellable n-spheres, n > 2, is a direct consequence of some known results about contracted complexes.


1986 - A graph theoretical representation of PL manifolds – A survey on crystallizations [Articolo su rivista]
M. FERRI; C. GAGLIARDI; L. GRASSELLI
abstract

This is a survey of the techniques and results developped by Mario Pezzana and his group. The original concept is that of "contracted triangualtion", which was introduced with the main goal of finding a "minimal atlas" for compact manifolds. Only later did the possibility of deducing a graph theoretical tool - the crystallization - for representig PL manifolds occur as a mayor aspect of the theory. This leads to an application of graph theory to PL topology, which seems not to have been explored before. Note that many other authors outside Italy have independently become interested in this subject.


1986 - Edge-coloured graphs and associated groups [Relazione in Atti di Convegno]
L. Grasselli
abstract

We study the relations between group structures associated to edge-coloured graphs described, in previous papers, by A. Donati and A. Vince. A method for directly obtaining a presentation of the fundamental group of a closed 3-manifold from the associated edge-coloured graph is extended to the case of bordered 3-manifolds.


1986 - Grafi multicolorati e pseudocomplessi [Relazione in Atti di Convegno]
L. Grasselli
abstract

L'articolo, che ha la struttura di un survey paper, descrive una costruzione che permette di rappresentare ogni pseudocomplesso mediante un opportuno grafo con ricoprimento: la costruzione generalizza la rappresentazione di una classe particolare di pseudocomplessi per mezzo di grafi colorati sugli spigoli. Dimostrazioni complete dei risultati sono esposte nell'articolo "Multiple-coloured graphs and pseudocomplexes" dello stesso autore, pubblicato su Annali Univ. Ferrara 34 (1988), 265-270.


1985 - A geometric description of normal crystallizations [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

We give a geometric description of the normal crystallizations of 3-manifolds and apply it to the study of the double-cones, spines and bijoins.


1985 - Minimal atlases of manifolds [Articolo su rivista]
A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

Given a connected compact n-manifold M, a natural invariant of M is the minimal number of balls which are needed to cover M. If the intersection of any number of balls has again balls as connected components, we get the notion of ball-intersection atlas of M. We prove that each minimal ball-intersection atlas of a connected piecewise-linear n-manifold M has exactly n balls if the boundary of M is non-void.


1984 - Contracted triangulations as branched coverings [Articolo su rivista]
A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

We prove that every closed connected orientable n-dimensional pseudomanifold, which is n-colored on its vertex set, is a covering of the n-sphere branched over the (n-2)-skeleton of an n-simplex. This extends a theorem of Alexander (Bull. Amer. Math. Soc. 26 (1920)) and a theorem of Ramirez (An. Inst. Mat. Univ. Nac. Autonoma Mexico 15 (1975)). Using the concept of contracted triangulation, every closed connected orientable 3-manifold M is represented as a covering of the 3-sphere branched over an universal graph G, so that the cardinality of the fiber of each point of G depends only on the number of the 3-simplexes of a contracted triangulation of M.


1984 - Gruppi di omografie propriamente discontinui e trivarieta` [Articolo su rivista]
A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

Si ottiene una rappresentazione di tutte le trivarieta` chiuse, connesse ed orientabili a partire da gruppi propriamente discontinui di trasformazioni reali proiettive.


1983 - 'Normal’ crystallizations of 3-manifolds [Articolo su rivista]
P. BANDIERI; A. DONATI; L. GRASSELLI
abstract

By means of a particular class of 3-manifold crystallizations, we prove that every closed, connected 3-manifold can be represented by a partition of a positive integer n and a fixed-point-free involutory permutation on N_{4n}.


1983 - Generating all closed 3-manifolds from handlebodies and poligonal schemes [Relazione in Atti di Convegno]
BANDIERI P.; A. CAVICCHIOLI; GRASSELLI L.
abstract

We obtain a new combinatorial description of all closed connected 3-manifolds from handlebodies and polygonal schemes. Then we illustrate several geometrical and topological consequences of our representation results.


1983 - Generating all closed 3-manifolds from handlebodies and polygonal schemes [Relazione in Atti di Convegno]
P. BANDIERI; A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

In this paper we prove that every closed, connected and orientable 3-manifold of genus g can be obtained by identifying the boundaries of two closed domains, whose union is the boundary of a 3-dimensional handlebody of genus (g-1) and whose interiors are disjoint open discs .


1983 - Subdivision and Poincaré duality [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

Adapting the subdivision theorem for mock bundles in the case of geometric cocycles, we prove the independence of orientations and subdivisions for geometric cohomology groups.A subdivision theorem for simplicial algebraic cocycles and an alternative description of the subdivision of a geometric cocycle are derived.A duality map between cohomology and homology of a cycle K is then introduced: this map is proved to be, if K is an oriented manifold, the Poincarè duality isomorphism.


1982 - Cohomological products and transversality [Articolo su rivista]
A. CAVICCHIOLI; L. GRASSELLI
abstract

By making use of geometric cocycles we give a definition of transversality for maps between polyhedra, which extends the mock transversality given by Buoncristiano, Rourke and Sanderson in London Math. Soc. Lect. Note ser. 18 (1975).This definition allows us to introduce a product between PL maps that, in the particular case of the geometric cycles and cocycles, gives a description of the cup and cap products in terms of transversality.


1982 - Gruppo dei colori e cristallizzazioni normali degli spazi lenticolari [Articolo su rivista]
A. Donati; L. Grasselli
abstract

Si associa ad ogni grafo regolare colorato sugli spigoli un gruppo finito di permutazioni, detto gruppo dei colori. Facendo uso del teorema di classificazione degli spazi lenticolari e attraverso il calcolo del gruppo dei colori di grafi colorati che li rappresentano (cristallizzazioni standard), si prova che tali cristallizzazioni caratterizzano topologicamente gli spazi lenticolari.


1980 - Su una decomposizione normale per le n-varietà chiuse [Articolo su rivista]
A. Cavicchioli; L. Grasselli; M. Pezzana
abstract

Si prova l'esistenza di triangolazioni ultracontratte per ogni n-varietà chiusa: il risultato è un raffinamento del tentativo di estendere le forme normali delle superficie alle varietà di dimensione superiore. Ciò consente di rappresentare le varietà mediante opportuni grafi colorati sugli spigoli: si prova infine che le varietà risultano orientabili se e solo se i grafi che le rappresentano sono bipartiti.


1979 - Fibrazioni standard di Seifert [Articolo su rivista]
P. BANDIERI; L. GRASSELLI
abstract

Si introduce una particolare classe di 3-varietà chiuse che estendono i prodotti topologici di superfici e S^1. Viene descritta per esse rappresentazioni (standard) mediante grafi ultracontratti e fibrazioni di Seifert, che consentono la loro classificazione mediante due numeri caratteristici.


1978 - Cocicli simpliciali geometrici [Articolo su rivista]
L. Grasselli
abstract

Particolarizzando la nozione di mock bundle in quella di cociclo geometrico, si costruisce un isomorfismo diretto tra il gruppo di coomologia geometrica di un complesso di dischi e il suo gruppo di coomologia simpliciale algebrica.