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CARLO GAGLIARDI

CULTORE DELLA MATERIA
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica

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Pubblicazioni

2020 - Crystallizations of compact 4-manifolds minimizing combinatorially defined PL-invariants [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

The present paper is devoted to present a unifying survey about some special classes of crystallizations of compact PL $4$-manifolds with empty or connected boundary, called semi-simple and weak semi-simple crystallizations, with a particular attention to their properties of minimizing combinatorially defined PL-invariants, such as the regular genus, the Gurau degree, the gem-complexity and the (gem-induced) trisection genus. The main theorem, yielding a summarizing result on the topic, is an original contribution. Moreover, in the present paper the additivity of regular genus with respect to connected sum is proved to hold for all compact $4$-manifolds with empty or connected boundary which admit weak semi-simple crystallizations.

2016 - Classifying PL 4-manifolds via crystallizations: results and open problems [Capitolo/Saggio]
Casali, Maria Rita; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

Crystallization theory is a graph-theoretical representation method for compact PL-manifolds of arbitrary dimension, which makes use of a particular class of edge-coloured graphs, which are dual to coloured (pseudo-)triangulations. The purely combinatorial nature of crystallizations makes them particularly suitable for automatic generation and classication, as well as for the introduction and study of graph-defined invariants for PL-manifolds. The present survey paper focuses on the 4-dimensional case, presenting up-to-date results about the PL classication of closed 4-manifolds, by means of two such PL invariants: regular genus and gem-complexity. Open problems are also presented, mainly concerning different classication of 4-manifolds in TOP and DIFF=PL categories, and a possible approach to the 4-dimensional Smooth Poincare Conjecture.

2016 - GEOMETRIA [Monografia/Trattato scientifico]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti dei vari Corsi di Laurea in Ingegneria, e di quelli in Matematica, Fisica ed Informatica. Il testo è suddiviso in due parti: - la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare; - la seconda, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche. L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Un ruolo significativo viene attribuito a Osservazioni ed Esempi atti a: - chiarire concetti, risultati, dimostrazioni; - stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti; - motivare la genesi dei concetti e dei problemi; - evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale; - indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria. Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso. Definizioni, Proposizioni e Osservazioni sono dotati di una numerazione progressiva all'interno di ogni Capitolo; l'esposizione della teoria è arricchita inoltre da esempi notevoli, con numerazione autonoma all'interno di ogni Capitolo. Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie. Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti e i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note. La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari. La presente III edizione risulta integrata, rispetto a quelle precedenti, in primo luogo con l'introduzione di test di valutazione al termine di ciascuna delle due parti (Algebra lineare e Geometria euclidea) in cui il testo è suddiviso, rendendo così possibile al lettore una verifica del proprio livello di comprensione delle tematiche trattate. È stata inoltre realizzata una rivisitazione sostanziale di alcuni argomenti (in pa

2016 - PL 4-manifolds admitting simple crystallizations: framed links and regular genus [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

Simple crystallizations are edge-colored graphs representing piecewise linear (PL) 4-manifolds with the property that the 1-skeleton of the associated triangulation equals the 1-skeleton of a 4-simplex. In this paper, we prove that any (simply-connected) PL 4-manifold M admitting a simple crystallization admits a special handlebody decomposition, too; equivalently, M may be represented by a framed link yielding S^3, with exactly β_2(M) components (β_2(M) being the second Betti number of M). As a consequence, the regular genus of M is proved to be the double of β_2(M). Moreover, the characterization of any such PL 4-manifold by k(M)=3β_2(M), where k(M) is the gem-complexity of M (i.e. the non-negative number p−1, 2p being the minimum order of a crystallization of M), implies that both PL invariants gem-complexity and regular genus turn out to be additive within the class of all PL 4-manifolds admitting simple crystallizations (in particular, within the class of all “standard” simply-connected PL 4-manifolds).

2012 - Rigid gems in dimension n. [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

We extend to dimension n the concept of \rho-pair in a coloured graphand we prove the existence theorem for minimal rigid crystallizationsof handle-free, closed n-manifolds.

2010 - A census of genus-two 3-manifolds up to 42 coloured tetrahedra [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

We improve and extend to the non-orientable case a recent result of Karábaš, Maličký and Nedela concerning the classification of all orientable prime 3-manifolds of Heegaard genus two, triangulated with at most 42 coloured tetrahedra.

2010 - GEOMETRIA [Monografia/Trattato scientifico]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti delle Facoltà di Ingegneria e dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica ed Informatica. Il testo è suddiviso logicamente in due parti: - la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare; - la seconda parte, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche. La presente edizione risulta integrata, rispetto a quella precedente, da una rivisitazione sostanziale della teoria delle coniche e delle quadriche, dall'inserimento di nuovi argomenti e complementi (algebre di Boole, isometrie del piano euclideo...), oltre che dalla aggiunta di nuove osservazioni ed esempi lungo tutto lo sviluppo del testo.L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Particolare rilievo viene attribuito ad Osservazioni ed Esempi atti a: - chiarire concetti, risultati, dimostrazioni; - stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti; - motivare la genesi dei concetti e dei problemi; - evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale; - indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria. Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso. Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, in modo sintetico, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie. Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti ed i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note. La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari.

2009 - Non-orientable 3-manifolds admitting colored triangulations with at most 30 tetrahedra. [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

We present the census of all non-orientable, closed, connected 3-manifolds admitting a rigid crystallization with at most 30 vertices. In order to obtain the above result, we generate, manipulate and compare, by suitable computer procedures, all rigid non-bipartite crystallizations up to 30 vertices.

2005 - Classifying genus two 3-manifolds up to 34 tetrahedra [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Gagliardi, Carlo; L., Ricci
abstract

In this paper, we present a catalogue of all orientable genus two 3-manifolds admitting a contracted triangulation with at most 34 simplexes. Then we give a complete classification of the above manifolds.

2001 - A code for m-bipartite edge-coloured graphs [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo
abstract

An (n+1)-coloured graph $(\Gamma,\gamma)$ is said to be m-bipartite if m is the maximum integer so that every m-residue of $(\Gamma,\gamma)$ (i.e. every connected subgraph whose edges are coloured by only m colours) is bipartite; obviously, every (n+1)-coloured graph, with $n \ge 2$, results to be m-bipartite for some m, with $\ 2 \le m \le n+1$. In this paper, a numerical code of length $(2n-m+1) \times q$ is assigned to each m-bipartite (n+1)-coloured graph of order 2q.Then, it is proved that any two such graphs have the same code if and only if they are colour-isomorphic, i.e. if a graph isomorphism exists, which transforms the graphs one into the other, up to permutation of the edge-colouring. More precisely, if H is a given group of permutations on the colour set, we face the problem of algorithmically recognizing H-isomorphic coloured graphs by means of a suitable definition of H-code.

2001 - Geometria [Monografia/Trattato scientifico]
Casali, Maria Rita; Grasselli, Luigi; Gagliardi, Carlo
abstract

Il presente testo sviluppa argomenti tradizionalmente trattati nei corsi di “Geometria” (ovvero di “Algebra e Geometria”) nell'ambito delle lauree di primo livello, ed è particolarmente rivolto agli studenti delle Facoltà di Ingegneria e dei Corsi di Laurea in Matematica, Fisica ed Informatica.Il testo è suddiviso logicamente in due parti:- la prima parte contiene gli elementi fondamentali di Algebra lineare;- la seconda parte, di carattere più propriamente geometrico, riguarda le principali proprietà degli spazi euclidei, sviluppando in tale ambito la teoria delle coniche e delle quadriche.L'esposizione risulta articolata, come ovvio per ogni teoria matematica, in Definizioni e Proposizioni (o Teoremi, nel caso in cui gli enunciati rivestano particolare importanza). Particolare rilievo viene attribuito ad Osservazioni ed Esempi atti a:- chiarire concetti, risultati, dimostrazioni;- stimolare i necessari collegamenti tra i vari argomenti;- motivare la genesi dei concetti e dei problemi;- evidenziare i casi notevoli di particolare rilievo nell'ambito di una teoria generale;- indicare possibili generalizzazioni o descrizioni alternative di una teoria.Ciò può consentire inoltre al Docente di “dosare” con maggiore libertà, secondo le proprie convinzioni ed esperienze didattiche, il peso da attribuire, durante le lezioni, ai vari argomenti del corso.Con l'eccezione delle principali proprietà degli insiemi numerici fondamentali e dell'utilizzo di una teoria “ingenua”, non rigorosamente assiomatica, degli insiemi (peraltro, brevemente richiamata nel primo Capitolo), il testo appare essenzialmente autocontenuto. In particolare, non risulta necessario alcun prerequisito di Geometria euclidea così come viene sviluppata, in modo sintetico, a partire da un sistema di assiomi, nelle Scuole secondarie.Seguendo l'impostazione algebrica ormai dominante nelle varie teorie matematiche e quindi in una ottica di “algebrizzazione della Geometria”, i concetti ed i risultati di natura geometrica, compresi quelli relativi alla Geometria euclidea, sono infatti ricavati da conoscenze di tipo algebrico precedentemente introdotte. Abbiamo cercato tuttavia di non fare perdere contenuto geometrico a tali concetti, sia mediante il metodo con cui questi vengono presentati, sia facendo spesso ricorso ad Osservazioni ed Esempi atti ad aiutare il lettore a ritrovare, pure in ambiti più generali, le proprietà geometriche già note.La scelta privilegiata è stata quella di sviluppare la teoria, sia dal punto di vista algebrico che da quello geometrico, per spazi di dimensione finita n; le dimensioni due e tre sono tuttavia sempre illustrate in modo dettagliato, come casi particolari e nelle loro specificità, sfruttandone le caratteristiche di rappresentatività. Tale scelta di generalità nella dimensione è dovuta essenzialmente a due considerazioni: da un lato riteniamo opportuno evitare inutili ripetizioni nella enunciazione della teoria per le varie dimensioni particolari, dall'altro siamo convinti che lo sviluppo della teoria in ambito ragionevolmente generale sia un ottimo stimolo allo sviluppo della capacità di astrazione e generalizzazione che è obiettivo fondamentale di ogni corso di matematica, anche nell'ambito dei nuovi ordinamenti degli studi universitari.

2001 - Representing manifolds by crystallization theory: foundations, improvements and related results [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo
abstract

Crystallization theory was born in Italy during the 70's, due to Mario Pezzana and his school, as a combinatorial representation tool for piecewise-linear (PL) manifolds of arbitrary dimension. The present paper performes a - not exaustive - survey of the main results of PL-topology achieved through crystallization theory, both by the italian school of M. Pezzana and by other researchers of different schools, which contributed to the development of the ideas. In many cases, research problems and open questions are reviewed, together with the most recent - sometimes unpublished - results.

2001 - Ricordo di Mario Pezzana [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

Il lavoro contiene un ricordo della vita e traccia un quadro dell'attività scientifica di Mario Pezzana, scomparso nel 1999. Contiene inoltre la bibliografia completa degli articoli (oltre 200)relativi a cristallizzazioni ed argomenti connessi, prodotti da ricercatori di vari paesi (Brasile, Spagna, Francia, Slovenia, Messico, Corea, Giappone, USA, Italia).

2001 - Volume in memoria di Mario Pezzana -Supplemento al Volume 49 [Curatela]
Gagliardi, Carlo
abstract

Il volume contiene una raccolta di articoli.

1999 - Una osservazione sul genere delle varietà con bordo [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo; G., Volzone
abstract

Si prova, esibendo un esplicito controesempio, che il genere generalizzato di una 3-varietà con bordo non connesso è strettamente minore del genere regolare. In effetti, tale generalizzazione del genere in dimensione 3 pare essere strettamente legata a spezzamenti tipo Heegaard, in cui entrambi i corpi di manici presentano dei "buchi".

1997 - A combinatorial proof of Rohlin Theorem [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo
abstract

We present an algorithmic and combinatorial proof of the following well-known theorem, originally proved by Rohlin: `Every closed orientable 3-manifold $M^3$ bounds a simply connected orientable 4-manifold $M^4$.' More precisely, an edge-coloured graph representing $M^4$ is obtained as the final result of a finite and well-determined sequence of `admissible moves', starting from any given edge-coloured graph representing $M^3$.

1995 - Heegaard and regular genus of 3-manifolds with boundary [Articolo su rivista]
Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

By means of branched coverings techniques, we prove that the Heegaard genus and the regular genus of an orientable 3-manifold with boundary coincide.

1994 - Classifying PL 5-manifolds up to regular genus seven [Articolo su rivista]
Casali, Maria Rita; Gagliardi, Carlo
abstract

In the present paper we show that the only closed orientable PL 5-manifolds of regular genus less or equal to seven are the 5-sphere $S^5$ and the connected sum of m copies of $S^1 X S^4$, with $m \le 7$. As a consequence, the genus of $S^3 X S^2$ is proved to be eight. This suggests a possible approach to the (3-dimensional) Poincarè Conjecture, via the well-known classification of simply connected 5-manifolds, obtained by Smale and Barden.

1993 - Combinatorial handles and manifolds with boundary [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Gagliardi, Carlo; G., Volzone
abstract

In this work we complete the study of combinatorial handles in (n+1)-coloured graphs with boundary. In particular, we study the cancelling of a combinatorial handle from an (n+1)-coloured graph and its effects on the represented manifold.

1993 - Linking two minimal triangulations of CP2 [Articolo su rivista]
R., Chiavacci; Cristofori, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

We present an explicit algorithm for linking two "minimal" triangulations of the complex projective plane. The first one is the 9-vertex simplicial triangulation found by Banchoff and Kuhnel [The math. Intelligencer 5-3 (1983), 11-22]; the second one is the contracted triangulation with eight 4-simplexes, built by the third author [Aequationes Math. 37 (1989), 130-140].

1993 - Representing products of polyhedra by products of edge-coloured graphs [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Given an (m+1)-coloured graph G' and an (n+1)-coloured graph G", representig two polyhedra P' and P" respectively, we present a direct constuction of an (m+n+1)-coloured graph G"', which represents the product P'x P". Some examples, applications, lower and upper bounds and conjectures abour the genus of product manifolds are also presented.

1993 - The regular genus of n-dimensional PL manifolds - Results and problems [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

The paper contais a brief survey on the main results and problems about the "regular genus" of n-dimensional PL manifolds. Some conjectures , implying the Poincarè conjectures in dimension 3 and 4, are also presented.

1992 - Algebra lineare e Geometria - Volume 1 [Monografia/Trattato scientifico]
Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il volume costituisce una introduzione all'algebra lineare.

1992 - Algebra lineare e Geometria - Volume 2 [Monografia/Trattato scientifico]
Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il volume presenta una introduzione agli spazi affini ed euclidei.

1992 - Manici in superficie con bordo [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Gagliardi, Carlo; G., Volzone
abstract

Si estende lo studio dei "manici combinatori" a grafi 3-colorati sugli spigoli, che rappresentano superficie con bordo (anche non connesso). Come conseguenza, si ottiene una costruzione completamente combinatoria di tali superficie, mediante aggiunta di manici ad una unione disgiunta di dischi o sfere.

1991 - Algebra lineare e Geometria - Volume 3 [Monografia/Trattato scientifico]
Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

Il testo contiene complementi di algebra lineare, introduzione agli spazi proiettivi ed una trattazione completa delle quadriche negli spazi proiettivi, affini ed euclidei.

1990 - Surface maps and n-dimensional manifolds [Relazione in Atti di Convegno]
Gagliardi, Carlo
abstract

The main purpose of the paper is to present a standar method for associating a class of "surface maps" to each closed piecewise- linear manifold M^n. Since this class (in fact each map belonging to it) completely represents M^n, then it is possible to produce invariants, through the peculiar properties of the above maps. In particular, two such invariants are presented, together with a brief survey on the main results and problems about them.

1989 - On the genus of the complex projective plane [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

We construct a genus 2 crystallization G of the complex projective plane CP^2, whose associated pseudocomplex is composed by five vertices, ten edges, twenty triangles, twenty tetrahedra and eight 4-simplexes. This is proved to be the most "economical" pseudodissection of CP^2. Moreover, by performing the "connectred sum" of two copies of G, we obtain a genus 4 crystallization of the twisted 2-sphere bundle over S^2.

1988 - Multiple residues in dimension three [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

Edge-coloured graphs can be seen as schemes of pseudosimplicial complexes. Standard manipulations of such graphs may introduce unwanted singularities in the represented complexes. Here, a technique of elimination for a large class of singularities in 4-coloured graphs (hence, in 3-dimensional complexes) is presented.

1987 - Handles in graphs and sphere-bundles over S^1 [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo; G., Volzone
abstract

We extend to dimension n the concept of "combinatorial handle". Them we study the operation of cancelling of such a handle, which always reveals a connected sum decomposition of the represented manifold.

1987 - On a class of 3-dimensional polyhedra [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

The paper deals with a class of 3-dimensional polyhedra -called pinched manifolds - admitting only the simplest kind of singular points, i. e. points with a neighbourhood PL homeomorphic to the cone over a 2-sphere with holes. Pinched manifolds naturally appear as polyhedra associated to edge-coloured graphs with boundary. In fact, if we delete any set of edges, all coloured c, from a crystallization G of a closed 3-manifold, then the resulting graph represents a pinched manifold. On the other hand, if we delete all such edges from G, we obtain a graph representing the 3-disk D^3. Hence, pinched manifolds could be thougth of as the middle steps of a procedure for constructing a closed 3-manidols from D^3.

1987 - Regular genus - The boundary case [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

A particular kind of 2-cell imbedding for a class of edge-coloured graphs into surfaces with boundary is introduced and studied. This allows to define, as in [Geom. Dedicata 11 (1981), 397-414], where the closed case was treated, a pair of invariants -the "regular genus" and the "hole-number" - for every n-manifold with boundary. These invariants are proved to coincide with the classical ones in dimension two, and to be strictly related with a Heegaard-like handlebody decomposition in dimension three. A characterization of the n-disk D^n, as the unique n-manifold with regular genus zero and hole-number one, concludes the work.

1986 - A graph theoretical representation of PL manifolds – A survey on crystallizations [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo; Grasselli, Luigi
abstract

This is a survey of the techniques and results developped by Mario Pezzana and his group. The original concept is that of "contracted triangualtion", which was introduced with the main goal of finding a "minimal atlas" for compact manifolds. Only later did the possibility of deducing a graph theoretical tool - the crystallization - for representig PL manifolds occur as a mayor aspect of the theory. This leads to an application of graph theory to PL topology, which seems not to have been explored before. Note that many other authors outside Italy have independently become interested in this subject.

1985 - A characterization of punctured n-spheres [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

We prove some graph-theoretical propositions and apply them to a characterization of punctured n-spheres with h boundary components, as the manifolds with vanishing regular genus and hole number equal to h.

1984 - Rappresentazioni di varietà PL [Relazione in Atti di Convegno]
Gagliardi, Carlo
abstract

Si fornisce una panoramica sui principali metodi di rappresentazione delle varietà lineari a tratti.

1983 - Cobordant crystallizations [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

The notion of cobordism between two crystallizations is introduced. Then it is proved that the classical concept of cobordism between two closed PL manifolds can be translated in terms of edge-coloured graphs.

1982 - Crystallisation moves [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

A crystallisation of a closed PL manifold is an edge-coloured graph, which represents it via a contracted triangulation. Any two crystallisations of the same manifold are proved to be joined by a finite sequence of moves, two alternative sets of which are defined. A further move in dimension 3 is introduced. Note that this result solve the equivalence theorem for cristallisations of closed manifolds of arbitrary dimension.

1982 - Generating all orientable n-manifolds from (n-1)-complexes [Articolo su rivista]
Bandieri, Paola; Gagliardi, Carlo
abstract

We describe a standard construction to get all closed, orientable n-manifolds, from a suitable class of (n-1)-dimensional pseudocomplexes, endowed with an additional ordering structure.

1982 - On the genus of 4-dimensional products of manifolds [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

We determine bounds for the regular genus of any 4-manifold, which is the product of S^1 by a closed 3-manifold, or a product of two closed surfaces. This is done by an explicit construction of a graph representing the manifold, and by finding a minimal regular imbedding of it. Note that the same construction in dimension 3 enables to find the Heegaard genus of S^1 by a closed surbface, thus improving a result obtained, for the orientable case, by M. Ochiai in Yokohama Math J., 25 (1977), 109-112.

1982 - Recognising a 3-dimensional handle among 4-coloured graphs [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

Given a crystallization of a closed 3-manifold M, a simple graphical condition impying the existence of a connected sum decomposition of M by means of a suitable 3-manifold M' and a 3-dimensional handle is presented.

1982 - The only genus zero n-manifold is S^n [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

All closed PL n-manifolds of regular genus zero, i.e. admitting a crystallization which regularly imbeds in S^2, are proved to be PL homeomorphic to S^n. A conjecture, implying the Poincarè conjecture in dimension four, is also formulated.

1981 - Extending the concept of genus to dimension n [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

Some graph-theoretical tools are used to introduce the concept of regular genus, for every closed, n-dimensional PL manifold M^n. Then it is proved that the regular genus of every surface equals its genus, and that the regular genus of every 3-manifold M^3 equals its Heegaard genus if M^3 is orientable, and twice its Heegaard genus if M^3 is non orientable. A geometric opproach and some applications in dimension 4 are also presented.

1981 - Regular imbeddings of edge-coloured graphs [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

A particular kind of 2-cell imbeddings, called regular, for edge-coloured graphs is introduced. By using both combinatorial and geometric techniques, some general imbedding theorems for such graphs, strictly related to the polyhedra they represent, are exposed.

1980 - Crystallizations of PL-manifolds with connected boundary [Articolo su rivista]
Cavicchioli, Alberto; Gagliardi, Carlo
abstract

We extend the contracted triangulation theorem, established for closed PL manifolds by Pezzana in Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena 23 (1975), to PL manifolds with connected boundary. The result is derived from a general triangulation theorem for quasi-manifolds. Then we found, as a corollary of our main theorem, a graph-theoretical representation for every PL manifold with connected boundary by means of suitable edge-colored graphs, which we still call a "crystallization".

1979 - A combinatorial characterization of 3-manifold crystallizations [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

We present a completely combinatorial cheracterization of 3-manifold crystallizations among all 4-coloured graphs.

1979 - How to deduce the fundamental group of a closed n-manifold from a contracted triangulation [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

We show an algorithmic procedure to obtain a presentation of the fundamental group of a closed PL n-manifold M, starting from a contracted triangulation or a crystallization of M.

1979 - Strong ball coverings of manifolds [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

We improve two results of Kobayashi and Tsukui about minimal ball coverings of manifolds, deducing them from the existence theorem of contracted triangulations.

1976 - Spezzamenti alla Heegaard per varietà n-dimensionali [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

Si costruisce una famiglia di spezzamenti tipo Heegaard per ogni varietà compatta connessa e senza bordo, di dimensione n, a partire da una sua triangolazione contratta.

1975 - Alcune proprietà caratteristiche delle triangolazioni contratte [Articolo su rivista]
M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

Si confrontano tre differenti metodi per definire il concetto di triangolazione contratta di uno spazio topologico e se ne studiano le principali proprietà. Si fornisce quindi una completa formalizzazione del Teorema di Pezzana sulla triangolazione contratta delle varietà lineari a tratti.

1975 - Omomorfismo di Mayer-Vietoris per varietà tridimensionali [Articolo su rivista]
M., Pezzana; M., Ferri; Gagliardi, Carlo
abstract

Si illustra un procedimento standard per calcolare i gruppi di omologia di una 3-varietà compatta, connessa e senza bordo, a partire da una matrice intera che rappresenta un opportuno omomorfismo di Mayer-Vietoris.

1975 - Su di una caratterizzazione algebrica degli spazi topologici [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

Una opportuna modifica della topologia di Zariski ci permette di generare una famiglia di topologie su ogni sottoinsieme dello spettro di un anello commutativo ed unitario. Proviamo quindi che ogni topologia può essere generata con il procedimento illustrato.

1974 - Connessioni lineari su atlanti omografici [Articolo su rivista]
Gagliardi, Carlo
abstract

Si determinano le condizioni affinchè una connessione lineare su di una varietà differenziabile dotata di un atlante omografico abbia per geodetiche segmenti di retta. Se ne deducono condizioni per l'esistenza di un atlante omografico su di una varietà paracompatta.