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Massimo VILLARINI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi matematica C
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso ha lo scopo di introdurre lo studio delle successioni e delle serie di funzioni e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Viene inoltre presentata una introduzione alla teoria delle funzioni di una variabile complessa
Prerequisiti
Successioni e serie numeriche. Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o più variabili reali.
Programma del corso
Succesioni e serie di funzioni
Successioni di funzioni: convergenza uniforme e Teorema di Ascoli-Arzelà. Applicazione: teorema di esistenza di Peano per equazioni differenziali ordinarie.
Serie di funzioni: convergenza puntuale, uniforme e totale, continuità della somma, integrazione e derivazione per serie.
Serie di potenze: raggio di convergenza, convergenza puntuale ed uniforme, integrazione e derivazione. Serie di Taylor.
Serie di Fourier: convergenza in norma quadratica, criteri per la convergenza puntuale ed uniforme.
Equazioni differenziali ordinarie: esistenza, unicità e prolungabilità
Introduzione alla teoria delle funzioni di una variabile complessa
Funzioni olomorfe, equazioni di Cauchy-Riemann e trasformazioni conformi. Integrazione lungo cammini di funzioni di variabile complessa. Teorema di Cauchy su triangoli. Indipendenza dell'integrale di una funzione olomorfa dal rappresentante in una classe di omotopia a valori nel dominio di olomorfia. Teorema di Cauchy, Formula di Cauchy, equivalenza (locale) tra funzioni olomorfe e analitiche. Principio di Identità e cenni al prolungamento analitico. Teorema di Liouville e teorema fondamentale dell'algebra. Serie di Laurent e classificazione delle singolarità isolate. Teorema dei residui e applicazioni al calcolo di integrali definiti. Cenni alla teoria geometrica delle funzioni: Principio dell'argomento e applicazioni.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni, in presenza. Viene fornito dal docente materiale didattico sull'intero corso, sfruttabile anche da coloro che non possono essere presenti alle lezioni. La frequenza non è obbligatoria, ma è consigliata..
Testi di riferimento
C.D. Pagani, S. Salsa - Analisi Matematica 2 - Zanichelli (2016).
N. Fusco, P. Marcellini, C. Sbordone - Analisi Matematica 2 - Liguori (1996).
P. Marcellini, C. Sbordone - Esercizi di Matematica volume II, Tomi 1 e 4- Liguori (2009).
G. De Marco, C. Mariconda - Esercizi di calcolo in più variabili per il nuovo ordinamento - Zanichelli (2002).
Verifica dell'apprendimento
Prova scritta e orale. La prova scritta deve essere superata, con voto maggiore o uguale a 15,/30 per avere accesso alla prova orale. Non esistono vincoli espliciti sul voto finale in base al voto dello scritto. Il voto finale, comprensivo della valutazione dello scritto e dell'orale, verrà comunicato alla fine della prova orale-
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: Lo studente approfondirà le conoscenze, sulle successioni e serie di funzioni, sulle equazioni differenziali ordinarie e sugli elementi di base della teoria delle funzioni di una variabile complessa.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Lo studente svilupperà capacità di modellare e risolvere problemi matematici utilizzando le tecniche presentate nel corso.
Autonomia di giudizio: Al termine del corso lo studente sarà in grado di verificare tramite argomentazioni rigorose i contenuti presentati e di riconoscere in modo autonomo i metodi di risoluzione appropriati ai diversi tipi di problemi.
Abilità comunicative: Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
Capacità di apprendimento: Lo studente svilupperà abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.