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Stefania GATTI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi superiore
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso di Analisi Superiore è suddiviso nei due moduli
1. Analisi funzionale
2. Analisi di Fourier
e fornisce le conoscenze di base dell'Analisi Funzionale, con particolare riguardo per gli spazi vettoriali normati completi e per la Trasformata di Fourier. Fornisce inoltre le conoscenze di base relative alle equazioni alle derivate parziali lineari di I e di II grado.
Per una più completa comprensione degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei risultati di apprendimento attesi a seguito dello svolgimento del presente percorso formativo.
Prerequisiti
Limiti, continuità e differenziabilità per funzioni di una o più variabili reali, a valori scalari o vettoriali. Teoria di base dell'integrale secondo Lebesgue.
Programma del corso
Modulo "Analisi funzionale"
Introduzione agli operatori lineari e continui tra spazi normati e Teorema di Hahn-Banach, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus e della mappa aperta (2 CFU)
Topologia debole e Spazi riflessivi e spazi separabili (1 CFU)
Mollificatori e risultati di densità negli spazi di Lebesgue (1 CFU)
Spazi di Hilbert (1 CFU)
Spazi di Sobolev (1 CFU)
Modulo "Analisi di Fourier"
Trasformata di Fourier in L^1(R^n). Spazio di Schwartz S(R^n) e trasformata di Fourier in S(R^n). Principali proprietà della trasformata di Fourier. Trasformata della convoluzione, della derivata, derivata della trasformata. Formula di inversione. Problema di Cauchy e soluzione fondamentale dell'equazione del calore. (2 CFU).
Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. Teoremi di immersione di Sobolev e di Morrey. Compattezza negli spazi L^p (2 CFU).
Trasformata di Fourier in L^2. Spazi H^s. Traccia di funzioni di H^s. Spazi di Sobolev di esponente frazionario (2 CFU).
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza, erogate in lingua italiana. La frequenza delle lezioni non è obbligatoria. Non sono previste modalità specifiche per studenti lavoratori, che possono contattare i docenti del corso per ricevimento e per indicazioni bibliografiche dettagliate.
Testi di riferimento
Durante il corso verranno date dispense e indicazioni bibliografiche.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale, sugli argomenti definiti nella sezione “Programma del corso”, che mira all’accertamento della conoscenza della teoria e della padronanza degli strumenti di indagine teorica.
È possibile sostenere l'esame orale in due sedute distinte, di circa 30 minuti ciascuna, ognuna delle quali dedicata agli argomenti dei moduli di Analisi funzionale e di Analisi di Fourier. Entrambe le prove avranno inizio con un argomento a scelta dello studente. Successivamente verranno poste domande sul resto del programma per accertare la preparazione su tutti gli argomenti svolti.
Il punteggio è attribuito in trentesimi; precisamente, il voto minimo (18/30) corrisponde ad una conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza, mentre per la conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza si attribuisce il voto massimo (30/30 e lode). La graduazione dei voti intermedi si attribuisce in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali dimostrata durante la prova d’esame.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base dell'Analisi Funzionale, con particolare riguardo per gli spazi vettoriali normati completi e per le serie di Fourier.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di individuare il contesto funzionale più adeguato per trattare problemi di valori al contorno e di valori iniziali-al contorno per equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di dimostrare l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni dei problemi suddetti.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire argomentazioni teoriche e di riconoscerne la correttezza formale.
4. Abilità comunicative: A
l termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.