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Stefania GATTI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Equazioni di evoluzione
Matematica (Offerta formativa 2021)
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è quello di fornire gli strumenti atti alla formulazione debole di equazioni di evoluzione non lineari, con particolare riferimento alle equazioni di reazione diffusione e delle onde con smorzamento. Inoltre, quando il problema sia ben posto e l’operatore soluzione abbia opportune proprietà, lo studente sarà in grado di inquadrare l’analisi del modello nell’ambito della teoria dei sistemi dinamici dissipativi in infinite dimensioni. In particolare, ove possibile, il comportamento del sistema dinamico a regime sarà descritto tramite attrattori globali.
Prerequisiti
I prerequisiti sono i contenuti dei corsi di Analisi della laurea triennale e le proprieta'
fondamentali degli spazi di Lebesgue.
La conoscenza degli spazi di Sobolev è raccomandata ma non indispensabile.
Programma del corso
L'insegnamento si svolge nel II semestre, per un totale di 36 ore di didattica frontale (6 CFU).
I contenuti del corso sono:
Generazione di un sistema dinamico dissipativo per un problema elementare ( 6 ore)
Alcuni risultati negli spazi di Hilbert di dimensione infinita: Sistemi ortonormali completi numerabili di autovettori di un operatore in spazi di Hilbert. Teorema di Lax-Milgram (5 ore)
Spazi di Bochner e Sobolev-Bochner (5 ore)
Buona posizione per equazioni di evoluzione lineari del I e del II ordine in tempo (5 ore)
Buona posizione per equazioni di evoluzione nonlineari del I e del II ordine in tempo (5 ore)
Generazione di un sistema dinamico dissipativo che ammette l’attrattore globale per una equazione di reazione diffusione e una delle onde con smorzamento debole nonlineari ( 6 ore)
Generazione di un sistema dinamico dissipativo che ammette l’attrattore globale per l’equazione di Cahn-Hilliard con nonlinearità cubica (4 ore)
Metodi didattici
La didattica è basata, in via ordinaria(*), su lezioni frontali alla lavagna o tramite ausilio di lavagne
virtuali (tablet), nelle quali la materia viene sviluppata nei dettagli formali e debitamente
commentata. Il corso prevede lezioni teoriche sugli argomenti descritti nella sezione "Contenuti del
corso".
Le domande e gli interventi degli studenti sono graditi e incoraggiati.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico,
saranno caricati su piattaforma Moodle. Si invita lo studente ad iscriversi ed a consultare tale
piattaforma con regolarità.
(*) a causa della situazione sanitaria COVID19, le lezioni potrebbero essere svolte a distanza su piattaforma Meet, prevalentemente in modalità virtuale asincrona ma con
appuntamenti settimanali in modalità virtuale sincrona per confronti docente-studenti e per
approfondimenti.
Testi di riferimento
H. Brezis, Analisi funzionale. Teoria e applicazioni. Liguori
H. Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer, NY, 2011
J. Robinson, Infinite-Dimensional Dynamical Systems: An Introduction to Dissipative Parabolic PDEs and the Theory of Global Attractors. Cambridge.
R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics. Springer
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale della durata circa 45 minuti: più precisamente, lo studente dovrà presentare un seminario su un articolo proposto dalla docente nell’ambito degli argomenti del corso. Durante l'esposizione potranno essere richiesti collegamenti all'intero programma svolto.
L’obiettivo del seminario è accertare sia la conoscenza operativa ed approfondita di
tutti gli aspetti teorici della materia sia la capacità di inquadrare problemi evolutivi secondo le metodologie presentate nel corso.
Le prove potrebbero essere svolte in presenza o a distanza su piattaforma Meet a seconda
dell'evoluzione della situazione di emergenza sanitaria COVID19.
La valutazione in trentesimi della prova viene resa nota allo studente al termine della prova stessa.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà conoscenze approfondite relativamente alla teoria delle Equazioni di Evoluzione, con particolare riguardo per le equazioni di tipo paraboliche ed iperboliche nonlineari.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di scrivere la formulazione debole di problemi ai valori iniziali e al contorno per equazioni alle derivate parziali non lineari sia paraboliche che iperboliche. Sarà inoltre in grado di verificare se sia possibile dimostrare la buona posizione del problema con il metodo di Faedo-Galerkin e se venga generato un sistema dinamico.
Infine, saprà stabilire se il sistema sia dissipativo e se ammetta attrattori globali applicando la principale condizione sufficiente per la loro esistenza.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato il proprio approccio metodologico basato su argomenti astratti rigorosi.
4. Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di
apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.