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Fulvia SPAGGIARI

Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica

Insegnamento: Geometria e Algebra Lineare

Ingegneria del Veicolo (D.M.270/04) (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Fornire le conoscenze di base e gli strumenti operativi dell'algebra lineare e della geometria euclidea del piano e dello spazio di dimensione tre. Al termine del corso lo studente sarà in grado di
- riconoscere ed applicare in modo autonomo i diversi metodi risolutivi per i problemi tipici dell'algebra lineare e della geometria analitica
- presentare oralmente gli argomenti del corso con un linguaggio appropriato e un formalismo matematico corretto
-sviluppare capacità di approfondimento di argomenti collegati a quelli presentati nel corso

Prerequisiti

Conoscenze di base di matematica e di teoria degli insiemi

Programma del corso

ALGEBRA LINEARE (4 CFU)
Strutture algebriche fondamentali: gruppi
e campi.
Spazi e sottospazi vettoriali. Modelli fondamentali. Intersezione di sottospazi. Sistemi di generatori. Lineare dipendenza e indipendenza di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Matrici. Operazioni sulle matrici. Matrici notevoli. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante e metodi di calcolo del determinante. Matrice inversa.
Applicazioni lineari e loro proprietà. Matrici associate ad una applicazione lineare. Rango di una matrice. Algoritmi per il calcolo del rango.
Sistemi lineari e loro discussione. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari.
Matrici simili. Forme canoniche di matrici. Problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori ed autospazi.
Prodotto scalare. Norma di un vettore. Angolo tra vettori. Ortogonalità. Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo. Prodotto vettoriale.

GEOMETRIA EUCLIDEA (2 CFU)
Il piano euclideo reale. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta del piano euclideo. Posizione reciproca di rette. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Distanza euclidea. Aree.
Lo spazio euclideo reale di dimensione tre. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta e di un piano. Posizioni reciproche di rette, di piani, di retta e piano. Parallelismo e perpendicolarità tra rette, tra piani, tra retta e piano. Distanze. Volumi.

Metodi didattici

L'insegnamento si basa su lezioni frontali integrate da attività di esercitazione in aula. Viene affiancata un’attività di supporto alla didattica oltre l’orario di lezione, basata su esercitazioni e finalizzata principalmente alla preparazione alla prova scritta.
Spiegazioni e chiarimenti durante l' orario di ricevimento settimanale.
Le lezioni saranno erogate in presenza oppure a distanza a seconda della evoluzione della situazione COVID19.

Testi di riferimento

Testo di riferimento:
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, PRIMO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2002.
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, SECONDO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2004.

Altri testi:
R.Betti, Lezioni di Geometria (Volumi I-II), Masson ed., 1995;
M.Rosati, Lezioni di Geometria - nuova edizione, ed. Libreria Cortina, 1997;
C.Bignardi - B.Ruini - F.Spaggiari, Esercizi di algebra lineare, Pitagora ed., 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di geometria, Pitagora ed., 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley Publishing Company, 1994

Verifica dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta con quattro esercizi da risolvere di tipo numerico e tre quesiti teorici. La prova è finalizzata a verificare il livello di conoscenza e di comprensione degli argomenti del programma e a verificare la capacità di utilizzare il linguaggio matematico applicando in modo corretto il metodo ipotetico deduttivo.

Risultati attesi

1) Conoscenza e capacità di comprensione.
Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza e comprensione di:
strutture algebriche elementari,
spazi vettoriali,
matrici e loro proprietà,
applicazioni lineari e loro proprietà,
algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili,
condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice,
prodotto scalare e prodotto vettoriale,
gli spazi euclidei e le nozioni di parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (con particolare riferimento al piano euclideo e allo spazio euclideo di dimensione tre).

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di:
determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale,
determinare nucleo e immagine di un’applicazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
e rappresentare un’applicazione mediante matrice,
calcolare il determinante e il rango di una matrice,
discutere e risolvere sistemi lineari,
calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice,
costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo,
rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei,
stabilire la posizione reciproca tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza,
calcolare aree e volumi nello spazio euclideo
risolvere semplici problemi di geometria euclidea.

3) Autonomia di giudizio
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.

4) Abilità comunicative
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.

5) Capacità di apprendimento
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi momento del proprio percorso culturale
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.