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Fulvia SPAGGIARI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Geometria e Algebra Lineare
Ingegneria del Veicolo (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Fornire le conoscenze di base e gli strumenti operativi dell'algebra lineare e della geometria euclidea del piano e dello spazio di dimensione tre. Al termine del corso lo studente sarà in grado di
riconoscere ed applicare in modo autonomo i diversi metodi risolutivi per i problemi tipici dell'algebra lineare e della geometria analitica
presentare gli argomenti del corso in modo corretto e con un formalismo matematico adeguato
sviluppare capacità di approfondimento di argomenti collegati a quelli presentati nel corso
Prerequisiti
Conoscenze di base di matematica e di teoria degli insiemi
Programma del corso
ALGEBRA LINEARE (4.5 CFU)
Strutture algebriche fondamentali: gruppi
e campi . Spazi e sottospazi vettoriali. Modelli fondamentali. Intersezione e somma di sottospazi. Sistemi di generatori. Lineare dipendenza e indipendenza di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale. (12 ore)
Matrici. Operazioni sulle matrici. Matrici notevoli. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante e metodi di calcolo del determinante. Matrice inversa. (6 ore)
Applicazioni lineari e loro proprietà. Matrici associate ad una applicazione lineare. (3 ore)
Rango di una matrice. Algoritmi per il calcolo del rango. Sistemi lineari. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari. (9 ore)
Matrici simili. Forme canoniche di matrici. Autovalori, autovettori ed autospazi. Diagonalizzazione per similitudine di una matrice (5 ore)
Prodotto scalare. Norma di un vettore. Angolo tra vettori. Ortogonalità. Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Prodotto vettoriale. (5 ore)
GEOMETRIA EUCLIDEA (1.5 CFU)
Il piano euclideo reale. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta del piano euclideo. Posizione reciproca di rette. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Distanza euclidea. Aree. (4 ore)
Lo spazio euclideo reale di dimensione tre. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta e di un piano. Posizioni reciproche di rette, di piani, di retta e piano. Parallelismo e perpendicolarità tra rette, tra piani, tra retta e piano. Distanze. Volumi. (10 ore)
Metodi didattici
L'insegnamento si basa su lezioni frontali in aula, integrate da attività di esercitazione, per fornire un'applicazione immediata dei contenuti teorici proposti. Viene affiancata un’attività di esercitazioni, svolta da un co-docente, finalizzata a consolidare e ad approfondire gli aspetti applicativi.
Testi di riferimento
Il materiale didattico sarà fornito dal docente attraverso Moodle all'inizio del corso e comprende: registrazioni delle lezioni con slide relative, modelli di prove d'esame ed esercizi proposti.
Inoltre si consigliano i seguenti testi:
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, PRIMO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2002.
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, SECONDO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2004.
Altri testi:
R.Betti, Lezioni di Geometria (Volumi I-II), Masson ed., 1995;
M.Rosati, Lezioni di Geometria - nuova edizione, ed. Libreria Cortina, 1997;
C.Bignardi - B.Ruini - F.Spaggiari, Esercizi di algebra lineare, Pitagora ed., 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di geometria, Pitagora ed., 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley Publishing Company, 1994
Verifica dell'apprendimento
L’esame consiste in una prova scritta con quattro esercizi di tipo numerico e tre quesiti teorici. Ad ogni esercizio numerico sono assegnati 6 punti. Ad ogni quesito teorico sono assegnati 3 punti. La prova è finalizzata a verificare il livello di conoscenza e di comprensione degli argomenti trattati e la capacità di applicare in modo corretto il metodo ipotetico deduttivo.
Risultati attesi
1) Conoscenza e capacità di comprensione.
Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza e comprensione di:
strutture algebriche elementari,
spazi vettoriali,
matrici e loro proprietà,
applicazioni lineari e loro proprietà,
algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili,
condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice,
prodotto scalare e prodotto vettoriale,
gli spazi euclidei e le nozioni di parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (con particolare riferimento al piano euclideo e allo spazio euclideo di dimensione tre).
2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di:
determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale,
determinare nucleo e immagine di un’applicazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
e rappresentare un’applicazione mediante matrice,
calcolare il determinante e il rango di una matrice,
discutere e risolvere sistemi lineari,
calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice,
costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo,
rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei,
stabilire la posizione reciproca tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza,
calcolare aree e volumi nello spazio euclideo
risolvere semplici problemi di geometria euclidea.
3) Autonomia di giudizio
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.
4) Abilità comunicative
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
5) Capacità di apprendimento
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi momento del proprio percorso culturale
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.