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Fulvia SPAGGIARI

Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica

Insegnamento: Algebra Lineare

Ingegneria elettronica (D.M.270/04) (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Fornire le conoscenze di base e gli strumenti operativi dell'algebra lineare e la loro applicazione alla geometria euclidea del piano e dello spazio di dimensione tre. Al termine del corso lo studente sarà in grado di
- riconoscere ed applicare in modo autonomo i diversi metodi risolutivi per i problemi tipici dell'algebra lineare e della geometria analitica
- presentare oralmente gli argomenti del corso con un linguaggio appropriato e un formalismo matematico corretto
-sviluppare capacità di approfondimento di argomenti collegati a quelli presentati nel corso

Prerequisiti

Conoscenze di base di matematica e della teoria degli insiemi

Programma del corso

ALGEBRA LINEARE (5 CFU)
Strutture algebriche fondamentali: gruppi, campi.
Spazi e sottospazi vettoriali. Modelli fondamentali. Intersezione di sottospazi. Sistemi di generatori. Lineare dipendenza e indipendenza di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Matrici. Operazioni sulle matrici. Matrici notevoli. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante e metodi di calcolo del determinante. Matrice inversa.
Applicazioni lineari e loro proprietà. Matrici associate ad una applicazione lineare. Rango di una matrice. Algoritmi per il calcolo del rango.
Sistemi lineari e loro discussione. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari.
Matrici simili. Forme canoniche di matrici. Problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori ed autospazi.
Prodotto scalare. Norma di un vettore. Angolo tra vettori. Ortogonalità. Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo. Prodotto vettoriale.

GEOMETRIA EUCLIDEA (3 CFU)
Il piano euclideo reale. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta del piano euclideo. Posizione reciproca di rette. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Distanza euclidea. Aree. Isometrie piane. Coordinate polari piane.
Lo spazio euclideo reale di dimensione tre. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta e di un piano. Posizioni reciproche di rette, di piani, di retta e piano. Parallelismo e perpendicolarità tra rette, tra piani, tra retta e piano. Distanze. Angoli. Volumi. Isometrie dello spazio.



LE CONICHE DEL PIANO EUCLIDEO (1CFU)
Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo; punti propri e punti impropri. Equazioni omogenee e non omogenee di una conica. Retta tangente e retta polare ad una conica. Classificazione delle coniche del piano euclideo. Centro e assi. Equazioni canoniche. Fuochi e direttrici di una conica non degenere.

Metodi didattici

L'insegnamento si basa su lezioni frontali integrate da attività di esercitazione. Viene affiancata un'attività di supporto alla didattica, oltre l'orario di lezione, basata su esercitazioni e finalizzata principalmente alla preparazione della prova scritta. Le lezioni teoriche e le esercitazioni verranno svolte in presenza oppure a distanza a seconda dell'evoluzione della situazione sanitaria COVID19.

Testi di riferimento

Testo di riferimento:
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, PRIMO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2002.
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, SECONDO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2004.

Altri testi:
R.Betti, Lezioni di Geometria (Volumi I-II), Masson ed., 1995;
M.Rosati, Lezioni di Geometria - nuova edizione, ed. Libreria Cortina, 1997;
C.Bignardi - B.Ruini - F.Spaggiari, Esercizi di algebra lineare, Pitagora ed., 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di geometria, Pitagora ed., 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley Publishing Company, 1994

Verifica dell'apprendimento

L’esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta è un test a risposta multipla di 11 domande: 3 di tipo teorico e 8 di esercizi. Ad ogni risposta corretta vengono assegnati 3 punti, -1 punti ad ogni risposta errata, 0 punti per le domande senza risposta. La prova scritta risulta superata con un punteggio maggiore o uguale a 15. Superata la prova scritta si accede alla prova orale. Vengono effettuate due prove scritte in itinere durante lo svolgimento del corso, il cui superamento (con voto maggiore o uguale a 15 per entrambe le prove) consente agli studenti di accedere direttamente alla prova orale. Il colloquio orale verte sugli argomenti teorici del programma ed è finalizzato a verificare il livello di conoscenza e di comprensione degli argomenti del programma, la capacità di utilizzare il linguaggio matematico e di applicare in modo corretto il metodo ipotetico deduttivo. Il voto finale è stabilito sulla base della prova orale, pur tenendo in considerazione il voto della prova scritta. In caso di esito negativo della prova orale, la prova può essere ripetuta una sola volta senza ripetere la prova scritta.

Risultati attesi

1) Conoscenza e capacità di comprensione.
Tramite le lezioni in aula e lo studio individuale, lo studente avrà conoscenza e comprensione di:
spazi vettoriali
matrici e loro proprietà
applicazioni lineari e loro proprietà
algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili
condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
prodotto scalare e prodotto vettoriale
gli spazi euclidei e le nozioni di parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (con particolare riferimento al piano euclideo e allo spazio euclideo di dimensione tre)
le coniche del piano euclideo ampliato.

2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione.
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, lo studente avrà sviluppato la capacità di:
determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale, determinare nucleo e immagine di un’applicazione, determinante e rango di una matrice,
discutere e risolvere sistemi lineari,
calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice,
costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo,
rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei,
stabilire la posizione reciproca tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
calcolare aree e volumi nello spazio euclideo
risolvere semplici problemi di geometria euclidea
classificare le coniche del piano euclideo ampliato e determinarne gli elementi fondamentali

3) Autonomia di giudizio.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.

4) Abilità comunicative.
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.

5) Capacità di apprendimento.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi momento del proprio percorso culturale.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.