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Sergio POLIDORO
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi superiore
Matematica (Offerta formativa 2022)
Obiettivi formativi
Il corso fornisce le conoscenze di base dell'Analisi Funzionale, con particolare riguardo per gli spazi vettoriali normati completi e per la Trasformata di Fourier. Fornisce inoltre le conoscenze di base relative alle equazioni alle derivate parziali lineari di I e di II grado.
Prerequisiti
Limiti, continuità e differenziabilità per funzioni di una o più variabili reali, a valori scalari o vettoriali. Teoria di base dell'integrale secondo Lebesgue.
Programma del corso
Introduzione agli operatori lineari e continui tra spazi normati (2 ore)
Teorema di Hahn-Banach, Teorema di Baire, Teorema di Banach-Steinhaus e della mappa aperta (8 ore)
Topologia debole (4 ore)
Spazi riflessivi e spazi separabili (4 ore)
Mollificatori e risultati di densità negli spazi di Lebesgue (7 ore)
Spazi di Hilbert (5 ore)
Spazi di Sobolev (6 ore)
Problema di Fourier per la propagazione del calore in un insieme limitato (1 CFU).
Trasformata di Fourier. Soluzione fondamentale dell'equazione del calore. Risultati di esistenza e di unicità del problema di valori iniziali per l'equazione del calore (2 CFU).
Soluzione fondamentale dell'equazione di Laplace. Teoremi di immersione di Sobolev e di Morrey. Compattezza negli spazi L^p (2 CFU).
Spazio di Schwartz. Trasformata di Fourier in L^2. Spazi H^s. Traccia di funzioni di H^s (1 CFU).
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza, erogate in lingua italiana. I docenti sono disponibili ad offrire registrazioni di lezioni o parti di lezioni per gli studenti che non hanno la possibilità di frequentare le lezioni a causa della situazione sanitaria dovuta la COVID19. In base alla evoluzione della situazione sanitaria verrà valutata l'erogazione a distanza.
Testi di riferimento
Durante il corso verranno date dispense e indicazioni bibliografiche.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale, sugli argomenti definiti nella sezione “Programma del corso”, che mira all’accertamento della conoscenza della teoria e della padronanza degli strumenti di indagine teorica.
È possibile sostenere l'esame orale in due sedute distinte, di circa 30 minuti ciascuna, ognuna delle quali dedicata agli argomenti svolti da uno dei due docenti del corso. Entrambe le prove avranno inizio con un argomento a scelta dello studente. Successivamente verranno poste domande sul resto del programma per accertare la preparazione su tutti gli argomenti svolti.
Le prove saranno svolte in presenza o a distanza, in base alle disposizioni di Ateneo legate all'evoluzione della situazione COVID19.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base dell'Analisi Funzionale, con particolare riguardo per gli spazi vettoriali normati completi e per le serie di Fourier.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di individuare il contesto funzionale più adeguato per trattare problemi di valori al contorno e di valori iniziali-al contorno per equazioni alle derivate parziali. Sarà inoltre in grado di dimostrare l'esistenza, l'unicità e la regolarità delle soluzioni dei problemi suddetti.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire argomentazioni teoriche e di riconoscerne la correttezza formale.
4. Abilità comunicative: A
l termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.