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Marco PRATO
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Signal processing e problemi inversi
Matematica (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Il corso di Signal processing e problemi inversi è suddiviso nei due moduli
1. Elaborazione numerica di segnali e immagini
2. Problemi inversi e applicazioni
e vuole fornire le conoscenze, competenze e strumenti necessari per affrontare problemi di analisi dati mediante tecniche numeriche.
Per una più completa comprensione degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei risultati di apprendimento attesi a seguito dello svolgimento del presente percorso formativo.
Prerequisiti
- Calcolo differenziale per funzioni reali di una o più variabili reali
- Calcolo integrale per funzioni reali di una variabile reali
- Elementi di algebra lineare
- Elementi di analisi numerica: condizionamento, sistemi lineari
- Elementi di analisi funzionale: spazi di Hilbert, operatori limitati
- Programmazione di base in linguaggio Matlab
Programma del corso
Modulo "Elaborazione numerica di segnali e immagini"
Una traccia musicale, un elettrocardiogramma, una vibrazione sismica, ma anche un'immagine fotografica o radiografica, sono tutti esempi di segnali, in una o due dimensioni (le immagini).
Da un punto di vista matematico, si tratta di funzioni di una o due variabili a valori reali, che vengono rappresentate su dispositivi digitali, per esempio un PC.
Un primo problema che occorre affrontare è proprio quello del passaggio da un dominio continuo, quello in cui vivono le funzioni, ad un dominio discreto e finito, tipicamente associato ad un dispositivo digitale. Come si trasforma l'informazione in questo passaggio?
Inoltre, spesso è necessario elaborare un segnale per migliorarne la qualità o per estrarre delle informazioni utili: per esempio, potrebbe essere necessario rimuovere il rumore di fondo da una registrazione audio o ricavare il contorno degli oggetti rappresentati in un'immagine.
Infine, per minimizzare l'occupazione di memoria, è utile individuare una rappresentazione conveniente del segnale, ossia memorizzarlo in forma compressa.
Codifica, elaborazione, compressione sono tre aspetti dell'analisi dei segnali che verranno trattati in questo corso, illustrandone i concetti e gli algoritmi numerici relativi.
Saranno inoltre trattate alcune specifiche applicazioni concrete, per le quali sono previste anche esperienze di laboratorio in ambiente Matlab.
Elenco dettagliato degli argomenti:
1 CFU (6 ore)
- Definizione di segnale digitale
- Processo di acquisizione dei segnali
2 CFU (12 ore)
- Trasformata di Fourier
- Teorema di campionamento
- Operatori di convoluzione
1 CFU (6 ore)
- Trasformata discreta di Fourier
- Matrici circolanti
2 CFU (12 ore)
- Filtraggio di segnali
- Ricostruzione di immagini
- Cenni sulle funzioni wavelet
- Compressione di segnali
Modulo "Problemi inversi e applicazioni"
In un qualunque corso di calcolo numerico di base si sono studiati algoritmi di risoluzione valutandoli sia per la loro efficienza, sia per la loro stabilità, assumendo che il problema a cui vengono applicati non sia intrinsecamente instabile. Purtroppo nel modo reale molti fenomeni vengono modellizzati attraverso problemi inversi mal condizionati, che portano a soluzioni numeriche prive di significato. La strategia classica per contrastare questa instabilità è la teoria della regolarizzazione, che trova una delle sue applicazioni più studiate nella ricostruzione di immagini nitide a partire da immagini corrotte o trasformate.
Elenco dettagliato degli argomenti:
2 CFU (12 ore)
- Problemi inversi lineari: mal posizione, mal condizionamento, pseudosoluzione, soluzione generalizzata e operatore inverso generalizzato
2 CFU (12 ore)
- Algoritmi di regolarizzazione: TSVD, Tikhonov, Landweber
- Scelta del parametro di regolarizzazione: principio di discrepanza di Morozov, generalized cross validation, L-curve
2 CFU (12 ore)
- Applicazione alla ricostruzione di immagini: formulazione statistica, approcci Maximum Likelihood e Maximum a Posteriori, algoritmi di ottimizzazione, il caso della Tomografia Computerizzata
Metodi didattici
L’insegnamento viene erogato mediante lezioni frontali ed esercitazioni in presenza che vengono svolte con l’ausilio di lavagna, mezzi audiovisivi (slides) ed ambiente di calcolo Matlab.
La frequenza alle lezioni frontali e alle esercitazioni in presenza non è obbligatoria.
L’insegnamento è erogato in lingua italiana.
Testi di riferimento
Il materiale di riferimento del corso saranno le dispense e le slides del docente, che verranno fornite agli studenti prima dell'inizio del corso mediante la piattaforma Moodle.
Eventuali testi consigliati per approfondire le tematiche sviluppate nel corso sono i seguenti:
[1] M. Bertero, P. Boccacci, Introduction to Inverse Problems in Imaging, IOP Publishing, Bristol (1998)
[2] S. Mallat, A wavelet tour of signal processing, 3rd edition, Academic Press, Burlington, MA (2009)
[3] H.W. Engl, M. Hanke, A. Neubauer, Regularization of Inverse Problems. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht (1996)
Verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà al termine dell’insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d’esame. La prova è orale, della durata indicativa di 40 minuti.
L’esame prevede 4 quesiti di cui una domanda aperta e un esempio sugli argomenti svolti nella prima parte del corso, la descrizione di un algoritmo e di una sua applicazione, tra quelli descritti nella seconda parte del corso.
Tali quesiti sono finalizzati a valutare:
- le conoscenze, le capacità di comprensione e di collegare le diverse conoscenze tra loro;
- l’applicazione di conoscenze e capacità di comprensione;
- le abilità comunicative;
- l’autonomia di giudizio.
Il voto riportato nell’esame è dato dalla valutazione complessiva alla luce delle risposte alle 4 domande. In particolare, si otterrà un voto minimo (18/30) in caso di conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza, mentre un voto massimo (30/30) sarà riservato ad esami caratterizzati da conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza, con una graduazione dei voti intermedi basata sul raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali, dimostrata durante la prova d’esame.
L'esito sarà comunicato al singolo studente alla fine della prova orale.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà una conoscenza approfondita dei fondamenti dell'analisi di Fourier, dei metodi di ottimizzazione convessa e delle sue principali applicazioni nella direzione dell'apprendimento statistico e del machine learning
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Grazie ad una approfondita conoscenza delle basi dell'analisi convessa e dei metodi di ottimizzazione convessa lo studente sarà in grado di individuare autonomamente percorsi e strategie per modellare e risolvere problemi matematici utilizzando con accuratezza le tecniche dell'analisi
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire le argomentazioni teoriche presentate e le corrispondenti attività di laboratorio
4. Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, eseguito interamente su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.