 |
Marco PRATO
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
|
Insegnamento: Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali
Matematica (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
Il corso di Metodi Numerici è suddiviso nei due moduli
1. Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali
2. Problemi inversi e applicazioni
che si propongono di introdurre alcuni metodi fondamentali per la risoluzione numerica rispettivamente di equazioni alle derivate parziali e di problemi inversi lineari, analizzarne le prestazioni e implementarli nell'ambiente di programmazione Matlab.
Prerequisiti
Elementi di calcolo numerico: metodi di integrazione numerica, metodi numerici per la risoluzione di sistemi lineari e non lineari, metodi di approssimazione per equazioni differenziali ordinarie.
Elementi di analisi funzionale: spazi di Hilbert, operatori limitati.
Programmazione di base in linguaggio Matlab.
Programma del corso
Modulo "Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali"
Approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali ellittiche, paraboliche ed iperboliche mediante tecniche diverse, incluso il metodo degli elementi finiti.
Modulo "Problemi inversi e applicazioni"
Problemi inversi lineari: mal posizione, mal condizionamento, pseudosoluzione, soluzione generalizzata e operatore inverso generalizzato.
Algoritmi di regolarizzazione: TSVD, Tikhonov, Landweber.
Scelta del parametro di regolarizzazione: principio di discrepanza di Morozov, generalized cross validation, L-curve.
Applicazione alla ricostruzione di immagini: formulazione statistica, approcci Maximum Likelihood e Maximum a Posteriori, algoritmi di ottimizzazione, il caso della Tomografia Computerizzata.
Metodi didattici
- Lezioni frontali d'aula, con illustrazione dei contenuti capitolari mediante l'ausilio della lavagna e del proiettore.
- Esercitazioni di laboratorio sulla risoluzione dei problemi trattati a lezione, per la verifica pratica delle nozioni strutturate che costituiscono l'ossatura del programma d'insegnamento.
Sarà garantita l'erogazione a distanza per tutti; in base alla evoluzione dell'emergenza sanitaria COVID19 e alle specificità delle attività didattiche verrà valutata
l'erogazione anche in presenza.
Testi di riferimento
Appunti forniti dai docenti / Teachers notes
Modulo "Problemi inversi e applicazioni"/"Inverse problems and applications"
Engl HW, Hanke M and Neubauer A 1996. Regularization of Inverse Problems. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht.
Bertero M and Boccacci P 1998. Introduction to Inverse Problems in Imaging. Institute of Physics
Publishing, Bristol.
Verifica dell'apprendimento
Modalità d'esame: prova orale.
Il candidato deve dimostrare di conoscere approfonditamente:
- i contenuti curricolari e formativi dell'insegnamento, parte istituzionale d'aula e parte esercitativa di laboratorio;
Modulo "Metodi numerici per le equazioni alle derivate parziali"
- le diverse tecniche di approssimazione numerica di equazioni alle derivate parziali ellittiche, paraboliche ed iperboliche;
- la formulazione dei problemi in forma variazionale e il metodo di Galerkin;
- il metodo degli elementi finiti in una o più dimensioni;
- problemi di tipo non simmetrico.
Modulo "Problemi inversi e applicazioni"
- la definizione di problema inverso mal posto e mal condizionato, di pseudosoluzione, soluzione generalizzata e operatore inverso generalizzato;
- la trattazione di un problema inverso lineare in presenza di dati discreti;
- le caratteristiche teoriche degli algoritmi di regolarizzazione presentati e dei criteri di scelta del parametro di regolarizzazione;
- il problema della ricostruzione di immagini, gli algoritmi ISRA, EM, SGM e SGP e l'applicazione alla Tomografia Computerizzata.
La verifica è integrale, rispetto ai contenuti dell’insegnamento; è anche verificata la capacità del candidato di mettere in relazione contenuti disciplinari specifici con le conoscenze acquisite nelle propedeuticità del corso.
La prova orale consiste nell'implementazione di uno degli algoritmi numerici analizzati durante il corso in linguaggio Matlab e nell'approfondimento di alcuni argomenti trattati durante le lezioni. Il punteggio della prova orale in trentesimi viene suddiviso in:
5 punti per l'abilità comunicativa;
5 punti per le competenze trasversali;
20 punti per la conoscenza dei contenuti.
Risultati attesi
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso, lo studente avrà cognizioni sufficienti per affrontare alcuni problemi fisici e matematici provenienti da applicazioni reali.
Autonomia di giudizio:
Alla fine del corso, lo studente dovrà possedere l'abilità necessaria per individuare quali metodi risultano più adeguati per affrontare una particolare equazioni alle derivate parziali o uno specifico problema inverso.
Abilità comunicative:
Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di esporre in modo chiaro e rigoroso le metodologie studiate e discuterne la loro efficienza.
Capacità di apprendimento:
Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di approfondire in modo autonomo i principali aspetti degli argomenti proposti nel corso.