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MARIA MANFREDINI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Equazioni alle derivate parziali
Matematica (Offerta formativa 2022)
Obiettivi formativi
Il corso fornisce la conoscenza di base dei metodi della Teoria del Potenziale per la risoluzione del primo problema di valori al contorno relativo all’equazione di Laplace.
Vengono descritte le estensioni della teoria suddetta alle equazioni alle derivate parziali del II ordine uniformemente ellittiche o con forma caratteristica semi-definita positiva. Lo scopo principale del corso è l’avviamento alla ricerca nel settore: gli studenti vengono introdotti in un contesto teorico in cui siano individuabili problemi di ricerca aperti che presentino gradi di difficoltà differenziati, e si forniscono loro gli strumenti matematici adatti ad iniziare l’attività di ricerca attraverso un lavoro di tesi di laurea che possa venire sviluppato in un successivo percorso post-universitario.
Prerequisiti
Continuità e differenziabilità per funzioni di più variabili reali, integrale di Lebesgue. Convergenza puntuale ed uniforme per successioni e serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie. Primi elementi di Analisi Funzionale.
Programma del corso
- Formule di media per le funzioni armoniche. Principio del massimo forte. Soluzioni deboli, regolarità delle soluzioni deboli. Disuguaglianza di Harnack, teoremi di tipo Liouville (1 CFU).
- Soluzione fondamentale dell’equazione di Laplace. Nucleo di Poisson. Funzione di Green (1 CFU).
- Metodo di Perron per la risoluzione del problema di Dirichlet in aperti limitati. Teorema di Wiener. Funzioni barriera. Criterio del cono di Zaremba (2 CFU).
- Formula di media per l'equazione di propagazione del calore. Principio del massimo parabolico (1 CFU).
- Gruppo di Heisenberg. Sublaplaciano. Condizione di ipoellitticità di Hormander. Equazione di Kolmogorov degenere. Costruzione della soluzione fondamentale (1 CFU).
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza erogate in lingua italiana. I docenti sono disponibili ad offrire registrazioni di lezioni o parti di lezioni per gli studenti lavoratori o che non hanno la possibilità di frequentare le lezioni a causa della situazione sanitaria dovuta la COVID19. In base alla evoluzione della situazione sanitaria verrà valutata l'erogazione a distanza.
Testi di riferimento
- L.C. Evans - Partial differential equations - AMS, Providence, RI
- D. Gilbarg, N.S. Trudinger - Elliptic partial differential equations of second order - Springer
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale della durata di circa 30 minuti, sugli argomenti definiti nella sezione “Programma del corso”, che mira all’accertamento della conoscenza della teoria e della padronanza degli strumenti di indagine teorica. La prova avrà inizio con un argomento a scelta dello studente. Successivamente verranno poste domande sul resto del programma per accertare la preparazione su tutti gli argomenti svolti.
Le prove saranno svolte in presenza o a distanza, in base alle disposizioni di Ateneo legate all'evoluzione della situazione COVID19.
La valutazione in trentesimi della prova è così composta:
- per il 50 % dalla capacità di approfondire le conoscenze;
- per il 40 % dalla capacità di utilizzare le conoscenze;
- per il 10 % dall'abilità comunicativa.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà conoscenze approfondite relativamente alla teoria della regolarità delle Equazioni alle Derivate Parziali, con particolare riguardo per le equazioni di tipo ellittico ed ellittico-parabolico.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di risolvere problemi di valori al contorno per equazioni ellittiche, e di valori iniziali-al contorno per equazioni paraboliche. Sarà inoltre in grado di trattare problemi di valori al contorno per equazioni fortemente degeneri, con forma caratteristica semi-definita positiva.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato il proprio approccio metodologico basato su argomenti astratti rigorosi.
4. Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel
corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di
apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.