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MARIA MANFREDINI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi Matematica I
Ingegneria Informatica (MO) (Offerta formativa 2022)
Obiettivi formativi
Aspetti metodologici e operativi di calcolo differenziale e integrale per funzioni di una variabile reale.
In particolare, il corso fornisce le conoscenze di base della teoria delle successioni,e delle serie numeriche e del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale. Al termine del corso, lo studente dovrebbe essere in grado di analizzare i dati di semplici problemi di analisi matematica, identificando le ipotesi del problema e proponendo risoluzioni con l'utilizzo di tecniche di calcolo differenziale e integrale.
Prerequisiti
Conoscenze di base acquisite nella scuola secondaria di secondo grado.
Programma del corso
L'insegnamento si svolge nel I semestre del I anno, per un totale di 81 ore di didattica frontale (9
CFU) comprensive di teoria ed esercizi.
Dopo ciascun argomento trovate un'indicazione in termini di ore di insegnamento.
E' da intendere come puramente indicativa e potrebbe
subire modifiche nel corso dell’insegnamento che tenga conto dei riscontri
degli studenti.
LIMITI DI SUCCESSIONI: Definizione di successione. I teoremi sui limiti di successioni: unicità del limite, teorema dei due carabinieri. Successioni monotone. Il numero di Nepero. (13 ore)
FUNZIONI CONTINUE: Definizione di limite per funzioni reali di una variabile reale. Funzioni continue e teoremi (Weierstrass, degli zeri e dei valori intermedi). Funzioni monotone:definizione e loro limiti. (18 ore)
CALCOLO DIFFERENZIALE. Definizione di funzione derivabile e di derivata di una funzione. Significato geometrico. I teoremi del valore medio. Derivate di ordine superiore. Formula di Taylor con resto di Peano.
Estremanti locali: definizioni, condizioni necessarie (teorema di Fermat), condizioni sufficienti. Funzioni convesse. (18 ore)
CALCOLO INTEGRALE: definizione di integrale di Riemann. Proprietà dell'integrale: linearità, additività, monotonia, teorema della media. Classi di funzioni integrabili. I teoremi fondamentali del calcolo integrale. Teorema di integrazione per sostituzione e Teorema di integrazione per parti. (15 ore)
INTEGRALI GENERALIZZATI. Definizione di integrale generalizzato per funzioni non limitate oppure definite su intervalli non limitati. Definizione di convergenza di un integrale. Esempi fondamentali: integrale generalizzato delle funzioni del tipo 1 (x−c)α su intervalli limitati e non limitati. Criterio del confronto e del confronto asintotico. L’assoluta integrabilità . (7 ore)
SERIE NUMERICHE Definizione, convergenza e assoluta convergenza. Criteri di convergenza. (7 ore)
Serie di Taylor: sviluppabilità in serie di Taylor e criteri. (3 ore)
Metodi didattici
L'insegnamento si svolge in presenza ed è erogato in lingua italiana.
Le lezioni teoriche sono sempre integrate con esempi e controesempi relativi ai concetti fondamentali illustrati. Inoltre il corso prevede lo svolgimento di esercizi che hanno lo scopo di aiutare lo studente ad acquisire familiarità e padronanza con gli strumenti e metodi matematici introdotti durante la teoria.
Se necessario, le lezioni verranno svolte a distanza in modo sincrono e asincrono.
Testi di riferimento
Elementi di Analisi matematica uno, Marcellini, Sbordone, Liguori Ed.
Elementi di Analisi matematica, vol 1, Giulio Cesare Barozzi , Giovanni Dore , Enrico Obrecht. Ed. Zanichelli
Esercitazioni di Analisi Matematica 1, Marco Bramanti. Ed. Esculapio.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Nella prova scritta viene richiesta la risoluzione di esercizi sulle varie parti del corso L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato con la sufficienza la prova scritta.
Più precisamente, la verifica dell’apprendimento avviene attraverso un esame finale, che accerta l’acquisizione delle conoscenze e delle abilità attese tramite lo svolgimento di una prova scritta e di una prova orale orale senza l'aiuto di libri. La prova scritta consiste di norma di 6/7 esercizi. Per essere ammessi a sostenere la prova orale è necessario ottenere nella prova scritta un punteggio sufficiente (18/30). Gli esiti delle prove scritte saranno comunicati entro una settimana dalla prova scritta.
La prova orale consiste in almeno due domande che riguardano tutta la teoria (definizioni, teoremi e dimostrazioni).
Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento illustrandoli con capacità di linguaggio, risolvendo problemi anche complessi. Il mancato superamento dell’esame potrà essere dovuto all’insufficiente conoscenza dei concetti chiave, alla mancata padronanza del linguaggio.
Le prove potrebbero essere svolte in presenza
o a distanza a seconda dell'evoluzione della situazione COVID19.
Risultati attesi
Lo studente alla fine del Corso sarà in grado di utilizzare strumenti matematici, anche raffinati, per lo studio di modelli applicativi utili alla sua professione.
Obiettivi Formativi:
- Conoscenza e capacità di comprensione: Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente sarà in grado di trovare punti di massimo e di minimo di funzioni di più variabili reali, e sarà in grado di calcolare integrali di volume e di superficie.
Sarà in grado di riconoscere campi vettoriali che ammettono un potenziale.
- Abilità comunicative: Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio matematico appropriato.
-Capacità di apprendimento: Lo studio permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.