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MARIA MANFREDINI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Complementi di analisi matematica
Fisica (Offerta formativa 2022)
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è fornire agli studenti una adeguata preparazione relativamente alla teoria dell'integrazione in spazi multidimensionali e alla teoria della integrazione su varietà.
Prerequisiti
Elementi di base di calcolo in più variabili ed fondamenti di algebra lineare
Programma del corso
L'insegnamento si svolge nel I semestre del II anno, per un totale di 48 ore di didattica frontale comprensive di teoria ed esercizi.
Dopo ciascun argomento trovate un'indicazione in termini di ore di insegnamento.
E' da intendere come puramente indicativa e potrebbe
subire modifiche nel corso dell’insegnamento che tenga conto dei riscontri
degli studenti.
Misura di Lebesgue in R^n. (10 ore)
Integrale secondo Lebesgue in R^n. Definizione e proprietà delle funzioni integrabili. Confronto in R tra l’integrale di Riemann e l’integrale di Lebesgue.
Il Teorema di riduzione e il teorema di cambiamento di variabile. (12 ore)
Integrali curvilinei di II specie. Definizione di curva orientata e di orientamento.
Il teorema di Gauss-Green nel piano. (8 ore)
Campi vettoriali o forme differenziali. Definizione di campi vettoriali conservativi e di potenziale. Teorema fondamentale del lavoro di un campo conservativo. Condizione sufficiente affinché un campo chiuso sia conservativo. (8 ore)
Varietà differenziabili (superfici). Definizione di superficie regolare con bordo. Area di una superficie. Superfici orientate con bordo. Flusso di un campo vettoriale attraverso una superficie. Il teorema della divergenza e il teorema di Stokes. (10 ore)
Metodi didattici
Lezioni frontali in lingua italiana aventi come obiettivo sia l'esposizione dei contenuti teorici, sia l'utilizzo di tali contenuti in applicazioni significative, con la discussione di esempi ed esercizi.
Testi di riferimento
Pagani-Salsa: "Analisi Matematica 2" ed. Liguori
Lanconelli " Lezioni di Analisi Matematica 2, prima e seconda parte" ed. Pitagora
Wheeden, Zygmund "Measure and integral: an introduction to real analysis" Chapman & Hall/CRC Pure and Applied Mathematics
Nelson, "A User-Friendly Introduction to Lebesgue Measure and Integration" ams
Bramanti: “Esercitazioni di analisi matematica 2” ed. Esculapio
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale. Nella prova scritta viene richiesta la risoluzione di 3/4 esercizi e problemi simili a quelli proposti a lezione e che saranno valutati in base alla presentazione, chiarezza e profondità di ragionamento.
Gli esiti saranno comunicati entro una settimana dalla prova scritta
L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta (18/30).
La prova orale consiste nella presentazione di un argomento a piacere (approfondimento di un argomento proposto) e di una domanda che riguarda la teoria.
Il superamento dell’esame sarà garantito agli studenti che dimostreranno padronanza e capacità operativa in relazione ai concetti chiave illustrati nell’insegnamento. Un punteggio più elevato sarà attribuito agli studenti che dimostreranno di aver compreso ed essere capaci di utilizzare tutti i contenuti dell’insegnamento illustrandoli con capacità di linguaggio e risolvendo problemi anche complessi.
Le prove potrebbero essere svolte in presenza o a distanza a seconda
dell'evoluzione della situazione di emergenza sanitaria COVID19.
Risultati attesi
1) Conoscenza e capacità di comprensione: Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base del calcolo integrale in più variabili reali e nella integrazione su varietà.
2) Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le tecniche e le conoscenze acquisite allo studio problemi inerenti al calcolo integrale.
3) Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire argomentazioni teoriche e di riconoscerne la correttezza formale.
4) Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di esporre oralmente gli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato ed un formalismo matematico corretto.
5) Capacità di apprendimento: gli strumenti forniti durante il corso permetteranno di sviluppare la capacità di apprendere e approfondire in modo autonomo argomenti collaterali a quelli presentati durante il corso.