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Luisa MALAGUTI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Fondamenti di Analisi Matematica
Ingegneria gestionale (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire (1) le conoscenze di base: del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o più variabili reali e delle equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili; (2) la capacità di analizzare problemi matematici che possono essere affrontati con detti strumenti matematici permettendo allo studente di sviluppare una mentalità orientata alla risoluzione di problemi in tal modo modellabili. Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di comprendere i concetti di base della teoria dei limiti, del calcolo differenziale ed integrale anche in più variabili e di alcune significative tipologie di equazioni differenziali, conoscerà le principali proprietà del campo dei numeri complessi, l’operazione di serie, l’approssimazione delle funzioni di variabile reale mediante l’uso di opportuni polinomi, saprà analizzare il grafico di una funzione di variabile reale ed affrontare semplici problemi di ottimizzazione in più variabili.
Prerequisiti
Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e le loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette e coniche come luoghi geometrici. Per accedere all'esame è necessario non avere Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA). Si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria https://www.dismi.unimore.it/site/home/servizi/futuro-studente/obblighi-formativi-aggiuntivi-ofa.html
Programma del corso
La suddivisione dei contenuti per CFU e il dettaglio degli argomenti trattati possono subire piccole modifiche nel corso dell'insegnamento, anche alla luce delle risposte degli studenti e delle studentesse.
63 ore corrispondenti a 7 CFU sono dedicate ai seguenti argomenti
1-Estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di completezza. 2- Successioni. Calcolo dei limiti. Il numero di Nepero. Successioni infinitesime e infinite. 3- Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti e continuità. Funzioni discontinue. Asintoti. Funzioni composte e invertibili. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Limiti notevoli. Funzioni infinite ed infinitesime. 4-Derivata e retta tangente. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione e derivate fondamentali. Punti stazionari; massimi e minimi locali. Teoremi di Fermat e del valor medio. Primitive. Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi relativi ed assoluti. Teorema di De L'Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Flessi. 5-Studio del grafico di una funzione. 6- L'integrale come limite di somme. Teorema della media. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale indefinito. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
45 ore corrispondenti a 5 CFU sono dedicate ai seguenti argomenti
7-Serie numeriche convergenti, divergenti e irregolari. Serie geometriche e armoniche. 8- Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi in serie di Taylor. 9- Numeri complessi in forma algebrica, trigonometrica ed esponenziale. Piano di Gauss. Operazioni con i numeri complessi. 10- Equazioni differenziali ordinarie lineari del primo e secondo ordine e a variabili separabili. Problemi di Cauchy associati. 11- Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Ottimizzazione libera. 12- Integrali doppi; accenno agli integrali tripli.
Metodi didattici
L'insegnamento viene erogato in lingua italiana mediante lezioni frontali in presenza. Le lezioni comprendono una parte teorica e una parte di esercitazioni. La parte teorica consolida la comprensione e conoscenza degli argomenti esposti. Le esercitazioni hanno lo scopo di affinare le capacità applicative dello studente e sono dedicate alla soluzione di esercizi su tutti gli argomenti in programma. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma fortemente consigliata. Le lezioni sono svolte in aula e sono supportate da attività didattica saranno proposte attività di tutorato disciplinare. Nella piattaforma moodle del Corso verranno messi a disposizione: appunti delle lezioni, slide, schede di esercizi e quiz di auto-valutazione.
Testi di riferimento
C. Canuto- A. Tabacco -- Analisi Matematica I, Pearson, 2021
C.Canuto - A. Tabacco -- Analisi Matematica II, Pearson, 2021
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, ANALISI MATEMATICA 1 e 2 Zanichelli, 2009.
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi 1 e 2 Ed. Esculapio, Bologna, 2011.
Verifica dell'apprendimento
L'esame si svolge al termine dell'insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d'esame. Esso prevede: 1. una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente della capacità di analizzare e risolvere in autonomia problemi di analisi matematica utilizzando il calcolo differenziale ed integrale e la teoria delle equazioni differenziali lineari o a variabili separabili; 2. una prova orale volta ad accertare la conoscenza e comprensione dei contenuti del corso, la capacità di collegare e applicare le conoscenze, la padronanza del linguaggio. La prova scritta, della durata di 120 minuti, si compone di quattro esercizi la cui corretta risoluzione comporta il medesimo punteggio. Non è permesso, durante la prova, utilizzare: appunti, libri, dispense o manuali; è possibile fare uso di una calcolatrice non scientifica. Gli esiti della prova scritta vengono comunicati tramite ESSE3 mediamente entro una settimana dalla data di svolgimento della prova. Alla prova orale si accede solo dopo aver superato la prova scritta. Una prova scritta superata resta valida durante tutta la sessione d’esame in cui si è svolta (gennaio-febbraio oppure giugno-settembre). La prova orale si compone, generalmente, di tre quesiti teorici riguardanti: definizioni, esempi, illustrazione di proprietà, enunciati di proposizioni e teoremi, loro relative dimostrazioni. Parte di questa prova potrà svolgersi anche in forma scritta. Il voto dell'esame è il risultato della media aritmetica delle valutazioni riportate nelle due prove. Queste regole si applicano ad esami in presenza. Tempi e modalità potranno variare a seguito di situazioni contingenti che costringano ed erogare esami online.
Gli studenti immatricolati al primo anno di corso possono conseguire i crediti relativi a questo corso attraverso il superamento di due prove scritte parziali. La prima prova parziale sarà calendarizzata nel periodo di sospensione delle lezioni del primo semestre; la seconda prova si svolgerò a gennaio, subito dopo la conclusione del periodo natalizio.
Ognuna delle due prove parziali, entrambe della durata di150 minuti, si compone di due esercizi e di due domande teoriche. Le quattro richieste così presenti hanno tutte la stessa importanza ai fini del conseguimento del voto finale. Non è permesso, durante le prove, utilizzare: appunti, libri, dispense o manuali; è possibile fare uso di una calcolatrice non scientifica. Gli esiti delle prove parziali vengono comunicati tramite ESSE3, mediamente entro tre settimane dalla data dello svolgimento nel caso della prima prova e mediamente entro una settimana per la seconda prova. Si può accedere alla seconda prova parziale solo se il punteggio della prima prova è almeno 18/30. L'esame si intende superato se entrambe le prove parziali sono sufficienti e il voto finale sarà ottenuto dalla loro media aritmetica.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sugli strumenti dell'analisi matematica. Conoscenza e capacità di comprensione applicate: mediante le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi che richiedono strumenti tipici dell'analisi matematica. Capacità di apprendimento: lo studente è in grado di utilizzare in autonomia gli strumenti metodologici acquisiti utili al proseguimento degli studi e all'aggiornamento delle proprie conoscenze e competenze. Autonomia di giudizio: lo studente sviluppa la capacità di scegliere autonomamente i metodi di analisi e soluzione dei problemi relativi al programma del Corso. Abilità comunicative: lo studente avrà mette a punto la capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti affrontati nel Corso.