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Luisa MALAGUTI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Analisi Matematica I - IEI
Ingegneria civile e ambientale (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire le conoscenze di base: del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile reale e delle equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili. Più in particolare gli obiettivi di apprendimento attesi a seguito del completamento del corso e superamento del relativo esame sono, con riferimento ai descrittori di Dublino, i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione: 1. Conoscenza e comprensione dei concetti di base delle successioni di numeri reali e dei loro limiti. 2. Conoscenza e comprensione della nozione di limite per funzioni di variabile reale. 3. Conoscenza e comprensione della nozione di derivata di una funzione di variabile reale. 4. Conoscenza e comprensione dello studio del grafico di una funzione di variabile reale. 5. Conoscenza e comprensione dell’operazione di integrazione. 6. Conoscenza e comprensione delle serie numeriche. 7. Conoscenza e comprensione delle equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili. Capacità di applicare conoscenza e comprensione 8. Capacità di analizzare e risolvere problemi relativi allo studio di funzioni di variabile reale 9. Capacità di analizzare e risolvere problemi mediante il calcolo di integrali.
Prerequisiti
Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette e coniche come luoghi geometrici.
Programma del corso
1) Estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di completezza. 2) Successioni. Calcolo dei limiti. Forme di indecisione. Il numero di Nepero. Successioni infinitesime e infinite. 3) Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti e continuità. Funzioni discontinue. Asintoti. Funzioni composte e invertibili. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Limiti notevoli. Funzioni infinite ed infinitesime. 4) Derivata e retta tangente. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione e derivate fondamentali. Punti stazionari; massimi e minimi locali. Teoremi di Fermat e del valor medio. Primitive. Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi relativi ed assoluti. Teorema di De L'Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Flessi. 5) L'integrale come limite di somme. Teorema della media. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale indefinito. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. 6) Serie numeriche convergenti, divergenti e irregolari. Serie a termini non negativi, a segni alterni e di segno qualunque. 7) Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi in serie di Taylor. 8) Numeri complessi.
Metodi didattici
Il Corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni dedicate alla soluzione di esercizi su tutti gli argomenti del corso.
Testi di riferimento
Testi consigliati:
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, ANALISI MATEMAICA 1, Zanichelli, 2008.
Verifica dell'apprendimento
L’esame prevede: 1. Una prova scritta, della durata di 120 minuti, volta a verificare il conseguimento, da parte dello studente, degli obiettivi di apprendimento 8-10. Essa si compone di quattro esercizi la cui corretta risoluzione comporta il medesimo punteggio. Non è permesso, durante la prova, utilizzare: appunti, libri, dispense o manuali; è possibile fare uso di una calcolatrice non scientifica. 2. Una prova orale volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 1-7. L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato la prova scritta. La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. Il voto dell’esame è il risultato della media pesata delle valutazioni delle due prove con i seguenti pesi: - Prova scritta 1/3 - Prova orale: 2/3.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sugli strumenti dell'analisi matematica. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: tramite le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi che richiedono strumenti tipici dell'analisi matematica. Autonomia di giudizio: lo studente avrà sviluppato la capacità di scegliere autonomamente i metodi di analisi e soluzione dei problemi relativi al programma del Corso. Abilità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti affrontati nel Corso. Capacità di apprendimento: le attività descritte consentono allo studente di acquisire gli strumenti metodologici per potere provvedere autonomamente al proprio aggiornamento.