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LUCIA MAZZALI
Docente a contratto
Dipartimento di Ingegneria "Enzo Ferrari"
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Insegnamento: Geometria
Fisica (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
Introduzione ai concetti e alle strutture di base dell'algebra lineare e della geometria euclidea di dimensione due e tre, in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline
Prerequisiti
Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica
Programma del corso
Strutture algebriche fondamentali: gruppi, campi.
Spazi e sottospazi vettoriali. Modelli fondamentali. Intersezione di sottospazi. Sistemi di generatori. Lineare dipendenza e indipendenza di vettori. Basi e dimensione di uno spazio vettoriale.
Matrici. Operazioni sulle matrici. Matrici notevoli. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante e metodi di calcolo del determinante. Matrice inversa.
Applicazioni lineari e loro proprietà. Matrici associate ad una applicazione lineare. Rango di una matrice. Algoritmi per il calcolo del rango.
Sistemi lineari e loro discussione. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari.
Matrici simili. Forme canoniche di matrici. Problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori ed autospazi.
Prodotto scalare. Norma di un vettore. Angolo tra vettori. Ortogonalità. Basi ortonormali. Procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo. Prodotto vettoriale.
Il piano euclideo reale. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta del piano euclideo. Posizione reciproca di rette. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Distanza euclidea. Aree. Isometrie piane. Coordinate polari.
Lo spazio euclideo reale di dimensione tre. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta e di un piano. Posizioni reciproche di rette, di piani, di retta e piano. Parallelismo e perpendicolarità tra rette, tra piani, tra retta e piano. Distanze. Angoli. Volumi. Isometrie dello spazio.
Teoria delle coniche.
Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo; punti propri e punti impropri. Equazioni omogenee e non omogenee di una conica. Retta tangente e retta polare ad una conica. Classificazione delle coniche del piano euclideo. Centro e assi. Equazioni canoniche. Fuochi e direttrici di una conica non degenere.
Metodi didattici
L'insegnamento si basa su lezioni frontali integrate da attività di esercitazione per l'applicazione immediata dei concetti e dei metodi teorici presentati. A causa della situazione sanitaria COVID19 sia le lezioni teoriche che le esercitazioni verranno svolte a distanza, in modo asincrono (registrate).
Testi di riferimento
Testo di riferimento:
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, PRIMO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2002.
A. Cavicchioli - F. Spaggiari, SECONDO MODULO DI GEOMETRIA, Pitagora ed., Bologna, 2004.
Altri testi:
R.Betti, Lezioni di Geometria (Volumi I-II), Masson ed., 1995;
M.Rosati, Lezioni di Geometria - nuova edizione, ed. Libreria Cortina, 1997;
C.Bignardi - B.Ruini - F.Spaggiari, Esercizi di algebra lineare, Pitagora ed., 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di geometria, Pitagora ed., 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
D. C. Lay, Linear Algebra and Its Applications, Addison-Wesley Publishing Company, 1994
Verifica dell'apprendimento
L’esame consiste in una prova scritta ed una prova orale.
La prova scritta è un test a risposta multipla su esercizi numerici e domande di teoria. Vengono effettuate due prove scritte in itinere durante lo svolgimento del corso, il cui superamento consente agli studenti di accedere direttamente alla prova orale. Il colloquio orale verte sugli argomenti teorici del programma ed è finalizzato a verificare il livello di conoscenza e di comprensione degli argomenti del programma, la capacità di utilizzare il linguaggio matematico e di applicare in modo corretto il metodo ipotetico deduttivo.
Le prove, sia scritte che orali, potrebbero essere svolte in presenza o a distanza a seconda dell'evoluzione della situazione sanitaria COVID19
Risultati attesi
Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza e comprensione di:
spazi vettoriali
matrici e loro proprietà
applicazioni lineari e loro proprietà
algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili
condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
prodotto scalare e prodotto vettoriale
gli spazi euclidei e le nozioni di parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (con particolare riferimento al piano euclideo e allo spazio euclideo di dimensione tre)
le coniche del piano euclideo ampliato
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di:
determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale, determinare nucleo e immagine di un’applicazione, determinante e rango di una matrice,
discutere e risolvere sistemi lineari,
calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice,
costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo,
rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei,
stabilire la posizione reciproca tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
calcolare aree e volumi nello spazio euclideo
risolvere semplici problemi di geometria euclidea
classificare le coniche del piano euclideo ampliato e determinarne gli elementi fondamentali
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi momento del proprio percorso culturale
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere