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Claudio GIBERTI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Sistemi dinamici
Matematica (Offerta formativa 2022)
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di introdurre allo studio dei modelli matematici dei sistemi dinamici.
Il corso fornisce un’introduzione ai meccanismi elementari che regolano la dinamica dei sistemi, descrivendo gli aspetti di base delle proprietà topologiche e probabilistiche. Per una più completa completa comprensione degli obiettivi formativi del corso si rimanda alla sezione “Risultati di apprendimento attesi”.
Prerequisiti
Nessuno obbligatorio. Sono fondamentali le conoscenze di base di fisica-matematica, analisi, geometria e calcolo delle probabilità.
Programma del corso
La scansione dei contenuti in termini di CFU è da ritenersi puramente indicativa e potrà subire modifiche nel corso dell’insegnamento.
1) Definizione di sistema dinamico, caso a tempo discreto e a tempo continuo. Sospensione di una mappa. Mappa di Poincare'. Coniugazione di sistemi dinamici. Presentazione dei modelli elementari: rotazione del cerchio,
trasformazione espandente dell'intervallo, trasformazione logistica, trasformazione del fornaio, automorfismo iperbolico del toro, subshift di tipo finito. (1 CFU)
2) Subshift di tipo finito, codifica simbolica e dinamica simbolica. Entropia topologica del subshift di tipo finito. (1 CFU)
3) Sistemi dinamici topologici: transitività topologica, minimalità, coniugazione topologica, alfa e omega limiti. Entropia topologica, calcolo dell'entropia in alcuni modelli semplici. Trasformazioni unimodali, teorema di Sharkovsky. (1 CFU)
4) Elementi di teoria ergodica: medie temporali, misura invariante, teorema di Krylov-Bologioubov, teorema ergodico di Birkhoff. Misure ergodiche. Mescolamento. Esempi. (1 CFU)
5) Trasformazioni lineari iperboliche. Punti fissi iperbolici. Campi vettroriali lineari iperblici e loro classificazione topologica. Linearizzazione, teorema di Grobman-Hartman. Insiemi iperbolici. Varieta' stabili e instabili. Proprieta' principali degli insiemi iperbolici. Esempio della Mappa del Gatto. (1 CFU)
6) Studio di alcuni modelli: rotazioni del cerchio, trasformazione espandente dell'intervallo, trasformazione a tenda, mappa logistica, trasformazione del fornaio, subshift di tipo finito. (1 CFU)
Pur rimanendo nel quadro generale qui indicato, è possibile che, sulla base di necessità contingenti, o alla luce dei riscontri e della partecipazione degli studenti, il programma subisca alcune variazione e/o integrazioni.
Metodi didattici
Lezioni frontali alla lavagna (o tramite l'uso di lavagne virtuali) nelle quali la materia descritta nella sezione ”Contenuti" viene sviluppata nei dettagli formali e debitamente commentata.
Il docente potrà lasciare parti del programma allo studio individuale degli allievi e/o assegnare esercizi di natura teorica o computazionale.
Le lezioni sono erogate in Italiano e la frequenza è facoltativa.
Testi di riferimento
D.K. Arrowsmith, C.M. Place, Dynamical systems, Putnam Ed.
S. Wiggins, Introduction to applied nonlinear dynamical systems and chaos, Springer.
P.Collet, J.P.Eckmann, Concepts and Results in Chaotic Dynamics, Springer.
P. Walters, An introduction to Ergodic theory, Springer.
Materiali didattici sono resi disponibili nella pagina Dolly del corso. Fra questi:
C.Giberti, Appunti per il corso di sistemi dinamici.
Verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà termine dell’insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d’esame e prevede una prova orale della durata di circa 45 minuti sugli argomenti svolti a lezione e sulle abilità descritti nella sezione "Contenuti del corso”.
Durante il corso delle lezioni saranno assegnati esercizi e/o dimostrazioni da svolgere a casa (individualmente o in gruppo). La partecipazione a questa attività è su base volontaria e darà origine ad una valutazione (max 3 punti) da aggiungere al voto ottenuto nella prova orale.
La valutazione in trentesimi viene resa nota al termine della prova.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione:
Alla fine del corso lo studente, avendo acquisto alcune conoscenze di base della teoria dei sistemi dinamici, sarà in grado di comprendere i meccanismi elementari che regolano la dinamica, sia regolare che caotica, dei sistemi non lineari.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso, lo studente avrà cognizioni sufficienti per svolgere l'analisi qualitativa di alcune proprietà, principalmente di natura locale, della dinamica di semplici sistemi non lineari .
Autonomia di giudizio:
Alla fine del corso, lo studente dovrà possedere l'abilità necessaria per riconoscere quali metodi, fra quelli presentati durante il corso, siano adatti per lo studio qualitativo di un sistema dato. Lo studente, inoltre, sarà in grado di riconoscere nei comportamenti di sistemi complessi i meccanismi dinamici elementari che sono presentati durante il corso, per modelli più semplici.
Abilità comunicative:
Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di esporre in modo chiaro e rigoroso usando un formalismo matematicamente corretto, gli argomenti presentati nel corso.
Capacità di apprendimento:
Lo studente, valutando i limiti del programma di questo breve corso, ma basandosi su di esso, deve sapere come sviluppare le proprie conoscenze, quando ciò sia richiesto nell'affrontare l'analisi di sistemi dinamici che si presentano sia a livello teorico, che nelle applicazioni.