 |
GIOIA CARINCI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
|
Insegnamento: Catene di Markov
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre alla teoria delle Catene di Markov.
Prerequisiti
Probabilità. Variabili aleatorie e loro leggi. Valore atteso. Vettori aleatori. Indipendenza. Funzioni caratteristiche. Leggi condizionate. Convergenza di variabili aleatorie. Legge dei grandi numeri. Teorema centrale del limite.
Programma del corso
Catene di Markov a tempo discreto (3 CFU). Probabilità di transizione ad un passo. Omogeneità. Random Walk. Probabilità di transizione ad n passi. Evoluzione di una distribuzione di probabilità. Distribuzione stazionaria. Catena di Markov a due stati.
Classi di comunicazione. Irriducibilità. Ricorrenza e transienza. Funzioni generatrici. Numero di visite di uno stato.
Teoremi di caratterizzazione degli stati ricorrenti e transienti. Problema di ricorrenza e transienza del Random Walk.
Esistenza e unicità della distribuzione stazionaria.
Periodicità. Convergenza alla distribuzione stazionaria.
Ergodicità. Convergenza della frazione di tempo speso in uno stato. Misura reversibile. Esempi: Random Walk e Random Walk riflesso. Time-reversal process. Processo reversibile. Evoluzione del valore atteso di una funzione.
Catene di Markov a tempo continuo (3 CFU).
Probabilità di transizione. Equazione di Chapman-Kolmogorov. Waiting times. Memory-loss property. Tempi di salto. Catena scheletro. Rates di uscita e rates di salto. Generatore infinitesimale. Equazioni di Kolmogorov Forward e Backward. Evoluzione di una misura di probabilità. Evoluzione dell'aspettazione di una funzione. Distribuzione stazionaria. Distribuzione reversibile. Catena a due stati. Struttura in classi. Ricorrenza e transienza. Ricorrenza positiva e nulla. Tempo speso in uno stato. Esistenza e unicità della misura stazionaria. Ergodicità. Teorema di convergenza alla misura stazionaria. Time-reversal process. Processo reversibile. Processo di Poisson. Teorema di caratterizzazione. Catene di nascita e morte. Random Walk a tempo continuo. Esplosioni a tempo finito.
Metodi didattici
Le lezioni saranno tenute in presenza in lingua italiana. Lezioni teoriche saranno combinate con esercitazioni. Saranno fornite le slides delle lezioni per facilitare gli studenti lavoratori.
Testi di riferimento
J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press
Sheldom Ross, Stochastic processes, John Wiley and Sons, Inc.
Verifica dell'apprendimento
La verifica consiste in un esame orale finale, tramite il quale vengono valutate sia le conoscenze teoriche che l'abilità di risoluzione di esercizi. L'esame ha durata media di un'ora. I primi 30 minuti sono dedicati alla risoluzione e discussione di un esercizio (10 punti). Nei successivi 30 minuti si procede con la verifica delle conoscenze teoriche. Vengono effettuate almeno due domande di teoria (20 punti).
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base della teoria dei processi di Markov.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze teoriche a diversi modelli stocastici.
Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria capacità di formulare risultati rigorosi nell'ambito della teoria delle Catene di Markov.
Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
Capacità di apprendimento: Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.