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Carla FIORI
Docente a contratto
Dipartimento di Giurisprudenza
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Insegnamento: Algebra A
Matematica (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
-Conoscenze e capacità di comprensione: Il corso si propone di fornire le basi per lo studio dell'algebra astratta; di illustrare alcune applicazioni; di educare all'astrazione matematica.
-Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze a problemi inerenti il programma svolto.
-Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo i diversi approcci e metodi risolutivi per le problematiche tipiche dell'algebra.
-Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare sugli argomenti trattatinel corso, con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
-Capacità di apprendimento: lo studio permetterà lo sviluppo di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.
Prerequisiti
Elementi di Teoria degli insiemi: simbologia, terminologia, operazione con gli insiemi. Insiemi numerici: naturali, razionali, reali, complessi. Calcolo algebrico nell'insieme dei numeri reali. Applicazioni: iniettive, suriettive, biettive.
Programma del corso
Proprietà delle operazioni con gli insiemi. Relazioni di equivalenza e di ordine. Costruzione dell'insieme dei numeri interi e dell'insieme dei numeri razionali. La relazione di congruenza, proprietà e applicazioni. Caratterizzazione e proprietà delle applicazioni tra insiemi. Principio di induzione. MCD e teoremi relativi, identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat. Funzione di Eulero. Insiemi finiti e infiniti. Cardinalità. Teorema fondamentale di Cantor sul numerabile. GRUPPI: Definizioni e prime proprietà. Esempi. Sottogruppi. Gruppi abeliani. Gruppi finiti. Gruppo simmetrico, alterno,delle rotazioni, diedrico. Gruppi ciclici. Laterali di un sottogruppo. Teoremi di Lagrange, di Sylow, di Cauchy. Sottogruppi normali. Gruppi semplici. Semplicità del gruppo alterno per n>4. Gruppo quoziente. Omomorfismi. Isomorfismi. Teoremi di omomorfismo. Centro di un gruppo. Automorfismi ed automorfismi interni. Teorema di Cayley. Sottogruppi caratteristici. Orbitee stabilizzatori. Teorema di Burnside. Commutatori e sottogruppo derivato. Gruppi risolubili. Catene di sottogruppi. Non risolubilità del gruppo simmetrico per n>4. Ogni p-gruppo finito (p primo) è risolubile. Ogni gruppo di ordine p^2 (p primo) è abeliano. Caratterizzazione dei gruppi semplici risolubili. Prodotto diretto di gruppi. Gruppo prodotto diretto di suoi sottogruppi. Caratterizzazione di tutti i gruppi abeliani finiti. RETICOLI: Definizione ed esempi di reticolo. Sottoreticoli. Reticoli modulari. Reticoli distributivi. Isomorfismi e antisomorfismi. Algebra di Boole. Diagrammi di Hasse.
Metodi didattici
Le lezioni riguarderanno teoria ed esercizi degli argomenti descritti nel programma. In sintesi: Fondamenti di Matematica e Studio della struttura di Gruppo. Verranno erogate in presenza o a distanza in modo asincrono (video-registrazioni) a seconda di come evolverà la situazione COVID 19.
Testi di riferimento
Dispensa delle Lezioni e degli esercizi del corso sono disponibili nella pagina web del docente.
Verifica dell'apprendimento
Esame orale sul programma svolto. Verrà valutata la capacità espositiva di una dimostrazione e la capacità di collegare fra loro definizioni e teoremi oggetto del programma.
La prova potrebbe essere svolta in presenza o a distanza a seconda della situazione COVID 19.
Risultati attesi
Totale coerenza con gli indicatori di Dublino.