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Federica SANI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Equazioni alle derivate parziali
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Lo scopo principale del corso è l’avviamento alla ricerca nel settore delle Equazioni Differenziali alle Derivate Parziali di tipo ellittico: gli studenti vengono introdotti in un contesto teorico in cui siano individuabili problemi di ricerca aperti che presentino gradi di difficoltà differenziati, e si forniscono loro gli strumenti matematici adatti ad iniziare l’attività di ricerca attraverso un lavoro di tesi di laurea che possa venire sviluppato in un successivo percorso post-universitario.
Prerequisiti
Gli argomenti dei corsi di Analisi Matematica A, B, C e di Analisi Superiore: continuità e differenziabilità per funzioni di più variabili reali, integrale di Lebesgue, primi elementi di Analisi Funzionale.
Programma del corso
- Richiami preliminari su spazi di Sobolev in domini limitati in dimensione N (circa 1 CFU)
- Formulazione debole di problemi ellittici con condizioni al bordo: esistenza di soluzioni deboli per problemi di Dirichlet e Neumann per l'operatore di Laplace e operatori ellittici del secondo ordine (circa 1 CFU)
- Regolarità delle soluzioni deboli di problemi di Dirichlet e Neumann per l'operatore di Laplace (circa 1 CFU)
- Principio di massimo per soluzioni deboli di equazioni ellittiche (circa 1 CFU)
- Autofunzioni e decomposizione spettrale (circa 1 CFU)
- Approfondimenti su Ottimizzazione e Analisi Nonlineare (circa 1 CFU)
Metodi didattici
La frequenza non è obbligatoria ma fortemente consigliata.
La didattica è basata su lezioni frontali alla lavagna nelle quali la materia viene sviluppata nei dettagli formali e debitamente commentata.
Informazioni complete e aggiornate sull'organizzazione del corso e sul materiale didattico saranno disponibili sulla pagina Moodle del corso, e gli studenti sono invitati a controllare regolarmente la pagina.
Testi di riferimento
- H.Brezis - Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer Science & Business Media
- D. Gilbarg, N.S. Trudinger - Elliptic partial differential equations of second order – Springer
- Lecture notes and additional bibliographic references will be provided during the course
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale sugli argomenti svolti durante il corso che sono definiti in linea generale nella sezione “Programma del corso” della pagina Moodle. Il programma dettagliato sarà redatto durante lo svolgimento delle lezioni. La prova orale mira all’accertamento della conoscenza della teoria e della padronanza degli strumenti di indagine teorica.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà conoscenze approfondite relativamente alla teoria dell’esistenza e regolarità di soluzioni regolarità delle Equazioni alle Derivate Parziali ellittiche e ad alcune applicazioni.
2. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato il proprio approccio metodologico basato su argomenti astratti rigorosi.
3. Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
4. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di
apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.