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ELISA SOVRANO
Ricercatore t.d. art. 24 c. 3 lett. B
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Fondamenti di Analisi Matematica
Ingegneria gestionale (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Il corso si propone di: (1) fornire le conoscenze di base dell'Analisi Matematica educando lo studente al linguaggio matematico; (2) raggiungere un uso consapevole degli strumenti di base dell'Analisi Matematica permettendo allo studente di sviluppare una mentalità orientata all’interpretazione e alla risoluzione di problemi modellabili con tali strumenti.
Alla fine del corso lo studente conoscerà gli aspetti metodologico-operativi del calcolo differenziale e integrale per funzioni di una o più variabili reali; di alcune classi di equazioni differenziali ordinarie; del campo dei numeri complessi; dell’operazione di serie; dell’approssimazione delle funzioni di variabile reale mediante l’uso di opportuni polinomi. Saprà in oltre analizzare il grafico di una funzione di variabile reale ed affrontare semplici problemi di ottimizzazione in più variabili.
Prerequisiti
Si richiede di conoscere e avere familiarità con i seguenti argomenti: principali operazioni tra insiemi; gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà; algebra polinomiale; equazioni e disequazioni algebriche; potenze, radici e logaritmi; funzioni trigonometriche; equazioni di rette del piano e coniche come luoghi geometrici.
Per accedere all'esame è necessario non avere Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA). Fare clic sul link sottostante per ulteriori informazioni.
https://www.dismi.unimore.it/site/home/servizi/futuro-studente/obblighi-formativi-aggiuntivi-ofa.html
Programma del corso
[Elementi di logica matematica.] Connettivi logici, quantificatori, dimostrazione per assurdo.
[Numeri reali.] Assioma di completezza. Estremo superiore ed estremo inferiore.
[Successioni.] Calcolo dei limiti. Il numero di Nepero. Successioni infinitesime e infinite.
[Funzioni.] Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti e continuità. Funzioni discontinue. Asintoti. Funzioni composte e invertibili. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Limiti notevoli. Funzioni infinite ed infinitesime.
[Calcolo differenziale.] Derivata e retta tangente. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione e derivate fondamentali. Punti stazionari; massimi e minimi locali. Teoremi di Fermat e del valor medio. Primitive. Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi relativi ed assoluti. Teorema di De L'Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Flessi.
[Calcolo integrale.] L'integrale come limite di somme. Teorema della media. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale indefinito. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale.
[Serie numeriche.] Serie geometriche e armoniche. Serie convergenti, divergenti e irregolari.
[Sviluppi di Taylor.] Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi in serie di Taylor notevoli.
[Numeri complessi.] Piano di Gauss. Interpretazione algebrica e geometrica di numero complesso. Operazioni con i numeri complessi. Formulazione trigonometrica ed esponenziale. Modulo, potenze e radici di un numero complesso.
[Equazioni differenziali ordinarie.] Problema di Cauchy associato. Equazioni differenziali lineari del primo e del second'ordine e a variabili separabili.
[Funzioni reali di più variabili reali.] Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. Ottimizzazione libera; integrali doppi e accenno agli integrali tripli.
Metodi didattici
L'insegnamento viene erogato in lingua italiana mediante lezioni frontali in presenza. Le lezioni comprendono una parte teorica e una parte di esercitazioni. La parte teorica consolida la comprensione e conoscenza degli argomenti esposti. Le esercitazioni hanno lo scopo di affinare le capacità applicative dello studente e sono dedicate alla soluzione di esercizi su tutti gli argomenti in programma. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria ma fortemente consigliata.
A supporto dell'attività didattica, saranno proposte attività di tutorato disciplinare e nella piattaforma moodle verranno messi a disposizione appunti delle lezioni, schede di esercizi e quiz di auto-verifica.
Testi di riferimento
C. Canuto and A. Tabacco. Analisi matematica I. Pearson (2021)
C. Canuto and A. Tabacco. Analisi matematica II. Pearson (2021)
C. Canuto, A. Tabacco, Mathematical Analysis I. Pearson (2022)
C. Canuto, A. Tabacco, Mathematical Analysis I. Pearson (2022)
Verifica dell'apprendimento
Al fine di appurare le conoscenze e le capacità acquisite dallo studente durante il corso l'esame prevede una parte di teoria e un'altra di esercizi.
[Modalità d’esame.]
L'esame si svolge secondo il calendario ufficiale degli appelli d'esame. Esso prevede: (1) una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente della capacità di analizzare e risolvere in autonomia problemi di analisi matematica; (2) una prova orale volta ad accertare la conoscenza e comprensione dei contenuti del corso, la capacità di collegare e applicare le conoscenze, la padronanza del linguaggio.
- La prova scritta sarà della durata di 120 minuti e sarà composta da quattro esercizi la cui corretta risoluzione comporterà il medesimo punteggio. Durante le prove scritte non sarà permesso l'utilizzo di alcun ausilio diverso dalla calcolatrice non scientifica. Gli esiti della prova scritta verranno comunicati tramite ESSE3 (mediamente entro una settimana dalla data di svolgimento della prova).
- Alla prova orale si potrà accedere solo dopo aver superato la prova scritta. Una prova scritta superata resterà valida durante tutta la sessione d’esame in cui si è svolta (gennaio-febbraio oppure giugno-settembre).
- La prova orale verterà, generalmente, su tre quesiti teorici riguardanti: definizioni, esempi, illustrazione di proprietà, enunciati di proposizioni e teoremi, loro relative dimostrazioni. Parte di questa prova potrà svolgersi anche in forma scritta.
- Il voto dell'esame sarà il risultato della media aritmetica delle valutazioni riportate nelle due prove.
[Prove intermedie.]
Gli studenti immatricolati al primo anno di corso potranno conseguire i crediti relativi a questo corso attraverso il superamento di due prove scritte parziali: (1) una prima prova parziale sarà calendarizzata nel periodo di sospensione delle lezioni del primo semestre; (2) una seconda prova si svolgerà a gennaio, subito dopo la conclusione del periodo natalizio.
- Entrambe le due prove parziali saranno della durata di 150 minuti e saranno composte da due esercizi e due domande teoriche. Le quattro richieste così presenti avranno tutte la stessa importanza ai fini del conseguimento del voto finale. Durante le prove non sarà permesso l'utilizzo di alcun ausilio diverso dalla calcolatrice non scientifica. Gli esiti delle prove parziali verranno comunicati tramite ESSE3 (mediamente entro tre settimane dalla data dello svolgimento nel caso della prima prova e mediamente entro una settimana per la seconda prova).
- Alla seconda prova parziale si potrà accedere solo dopo aver raggiunto un punteggio di almeno 18/30 alla prima prova.
- L'esame sarà superato solo se entrambe le prove parziali sono sufficienti. Il voto dell'esame sarà il risultato della media aritmetica delle valutazioni riportate nelle due prove parziali.
[Note.]
Queste regole si riferiscono agli esami in presenza. Tempi e modalità potranno variare a seguito di situazioni contingenti che costringano ad erogare esami online.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sull'utilizzo delle equazioni differenziali e alle differenze. Conoscenza e capacità di comprensione applicate: mediante l'analisi computazionale, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi che richiedono l'utilizzo di equazioni differenziali o alle differenze. Capacità di apprendimento: lo studente è in grado di utilizzare in autonomia gli strumenti metodologici acquisiti. Autonomia di giudizio: lo studente sviluppa la capacità di scegliere autonomamente i metodi di analisi e soluzione dei problemi relativi al programma del Corso. Abilità comunicative: lo studente mette a punto la capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti affrontati nel Corso.