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Elena ROSSI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Analisi matematica A
Ingegneria meccatronica (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Per gli obiettivi formativi si rimanda alla sezione relativa ai
risultati di apprendimento attesi
Prerequisiti
Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette e coniche come luoghi geometrici.
Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica e l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del Dipartimento di Scienze e Metodi dell’Ingegneria).
Programma del corso
La scansione dei contenuti per CFU è da intendere come puramente indicativa. Essa può infatti subire modifiche nel corso dell’insegnamento alla luce dei feedback degli studenti e delle studentesse e in relazione a situazioni contingenti.
1) 0.5 CFU: Estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di completezza.
2) 2 CFU: Limiti di funzioni e successioni. Infinitesimi e infiniti. Forme indeterminate. Limiti notevoli. Asintoti. Funzioni continue. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi.
3) 2 CFU: Derivata e retta tangente. Regole di derivazione e derivate fondamentali. Punti stazionari; massimi e minimi locali. Teoremi di Fermat e del valor medio. Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi relativi ed assoluti. Derivata seconda, concavità e convessità. Flessi.
4) 1 CFU: Serie numeriche convergenti, divergenti e indeterminate. Serie a termini non negativi, a segni alterni e di segno qualunque.
5) 0.5 CFU: Teorema di De L’Hopital. Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi in serie di Taylor.
6) 1.5 CFU: Integrale definito. Teorema della media. Primitive. Funzioni integrali. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrale indefinito. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrazione di una funzione razionale fratta. Area di una regione piana. Integrali generalizzati.
7) 1 CFU: Polinomio trigonometrico, serie trigonometrica. Spazio vettoriale delle funzioni a quadrato sommabile. Serie di Fourier di una funzione. Disuguaglianza di Bessel, uguaglianza di Parseval. Convergenza della serie di Fourier di una funzione alla funzione stessa nella norma dello spazio delle funzioni a quadrato sommabile. Condizione sufficiente per la convergenza puntuale della serie di Fourier.
8) 0.5 CFU: Equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili.
Metodi didattici
L’insegnamento viene erogato in lingua italiana mediante lezioni frontali in presenza. Il corso potrà essere erogato in modalità mista o a distanza in situazioni contingenti che lo rendano necessario. La frequenza alle lezioni non è obbligatoria.
Il corso prevede 6 crediti di lezioni teoriche e 3 crediti di esercitazioni in aula dedicate alla soluzione di esercizi su tutti gli argomenti del corso. Le lezioni sono supportate da corsi di sostegno e attività di tutorato disciplinare. La pagina Dolly del corso contiene il testo e la traccia della risoluzione di numerose prove scritte d’esame.
Testi di riferimento
Testi consigliati:
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, ANALISI MATEMATICA 1, Zanichelli.
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi 1 Ed. Esculapio.
P. Marcellini- S. Sbordone, ANALISI MATEMATICA 1, Liguori.
P. Marcellini - S. Sbordone, ESERCITAZIONI DI MATEMATICA 1, Liguori
Il capitolo sulle equazioni differenziali si trova nei rispettivi volumi n. 2.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste di una prova scritta e di una prova orale che si svolgono al termine dell’insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d’esame.
La prova scritta è preliminare alla prova orale. La prova orale deve essere sostenuta entro circa un mese dal superamento di quella scritta, al termine dei quali, in caso di mancato superamento della prova orale, la prova scritta perde validità.
La prova scritta, della durata di due ore, contiene quattro esercizi aperti ed è volta a verificare il conseguimento degli obiettivi 9-11. Ad ognuno degli esercizi verranno attribuiti fino a 8 punti.
Durante il semestre potranno essere organizzate due o tre prove intermedie strutturate come la prova scritta. Il conseguimento di una media aritmetica almeno pari a 16 nelle prove intermedie permette l'accesso alla prova orale da superare entro circa un mese dal termine del corso.
Dopo massimo 10 giorni dagli scritti, sul sito Dolly del corso saranno pubblicati i relativi esiti, testo e correzione.
La prova orale consiste in un colloquio tra docente ed esaminando di durata approssimativa di trenta minuti nell’arco
dei quali al candidato verranno proposte alcune domande su diverse aree del programma, volte a verificare la comprensione dei concetti fondamentali e la conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati e il raggiungimento degli obiettivi 1-8. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione.
Ai fine del superamento della prova orale, lo studente deve dimostrare di aver conseguito una preparazione
ragionevolmente sufficiente sia dal punto di vista dei contenuti sia dal punto di vista dell'utilizzo di un linguaggio espositivo specifico della disciplina.
In caso di mancato superamento di due prove orali, la prova scritta perde di validità.
Alla prova orale viene attribuito un punteggio compreso tra -5 e 5 punti da sommare a quello ottenuto nella prova scritta nel computo della valutazione complessiva dell'esame.
Durante le prove non è permesso utilizzare: appunti, libri, dispense o manuali, calcolatrici o cellulari o qualunque altro tipo di materiale.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione:
1. Comprendere i concetti di base delle successioni di numeri reali e dei loro limiti.
2. Comprendere la nozione di limite per funzioni di variabile reale.
3. Comprendere la nozione di derivata di una funzione di variabile reale.
4. Comprendere lo studio del grafico di una funzione di variabile reale.
5. Comprendere l’operazione di integrazione.
6. Comprendere le serie numeriche.
7. Comprendere le equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso si auspica che lo studente sia in grado di applicare le conoscenze acquisite per modellare e risolvere problemi matematici utilizzando le tecniche dell'analisi matematica e di verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
In particolare:
8. Analizzare e risolvere problemi relativi allo studio di funzioni di variabile reale
9. Analizzare e risolvere problemi mediante il calcolo di integrali.
10. Analizzare e risolvere problemi mediante l’uso di equazioni differenziali.
Autonomia di giudizio:
Sviluppare la capacità di scegliere autonomamente i metodi di analisi e soluzione dei problemi relativi al programma del Corso.
Riorganizzare le conoscenze apprese ed implementare la propria capacità di valutazione critica ed autonoma di quanto appreso.
Abilità comunicative:
Esprimere in modo corretto e logico le proprie conoscenze, riconoscendo l’argomento richiesto e rispondendo in modo puntuale e completo alle domande d’esame.
Capacità di apprendimento:
Acquisire gli strumenti metodologici per proseguire gli studi e per potere provvedere autonomamente alla propria capacità di apprendere.