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Paola CRISTOFORI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Geometria e Algebra Lineare
Ingegneria civile e ambientale (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Introduzione ai concetti ed alle strutture di base dell'algebra lineare, della geometria euclidea e della teoria delle coniche e quadriche in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.
Prerequisiti
Conoscenza delle definizioni e dei simbolismi di base della teoria degli insiemi e delle nozioni elementari sui polinomi e le loro radici.
Programma del corso
Spazi vettoriali. Matrici: operazioni, determinante, matrice inversa, rango. Sistemi lineari, sistemi di Cramer, sistemi lineari omogenei. Trasformazioni lineari: nucleo ed immagine, equazione dimensionale, matrici associate, cambiamenti di base, autovalori ed autovettori di un endomorfismo, teorema spettrale e diagonalizzazione per similitudine di matrici. Forme bilineari e quadratiche reali.
Prodotti scalari e spazi vettoriali euclidei. Norma di un vettore. Basi ortonormali.
Spazi euclidei: sistemi di riferimento, sottospazi, parallelismo ed ortogonalita`, distanze. Piano euclideo reale: rappresentazioni di una retta, posizione reciproca, parallelismo ed ortogonalita`, distanze. Spazio euclideo reale di dimensione tre: rappresentazioni di una retta e di un piano, posizioni reciproche, parallelismo ed ortogonalita`, distanze.
(fin qui per gli studenti del curriculum Ambientale).
Isometrie di uno spazio euclideo. Simmetrie.
Teoria delle coniche. Equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Centro di una conica. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Iperboli equilatere, ellissi vuote e circonferenze. Fuochi e direttrici.
Cenni di teoria delle quadriche. Equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate. Quadriche degeneri e non degeneri. Classificazione delle quadriche non degeneri. Equazioni canoniche euclidee delle quadriche non degeneri.
Metodi didattici
Lezioni frontali comprendenti teoria ed esercizi per l'applicazione dei concetti e procedimenti. Sono previste 20 ore aggiuntive di supporto svolte da altro docente.
Materiale didattico su Dolly e sulla pagina WEB personale del docente comprendente esempi di esercizi svolti, esempi di prove scritte anche intermedie, esercizi per l'autovalutazione dello studente.
Testi di riferimento
M.R. Casali - C. Gagliardi - L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2016 (nuova ed.);
A. Barani-L. Grasselli-C. Landi, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005;
C. Bignardi-B. Ruini-F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
B. Ruini-F. Spaggiari, Esercizi di Geometria , Pitagora Editrice, Bologna, 2002;
S. Lipschutz, Algebra Lineare (collana Schaum - teoria e problemi), Etas ed., 1975.
Verifica dell'apprendimento
L'esame si articola in una prova scritta in forma di test a risposta multipla comprendente sia domande di teoria che esercizi ed una prova orale.
E' possibile ottenere l'esonero dalla prova scritta finale sostenendo due prove scritte intermedie dello stesso tipo. La prova orale ha lo scopo di verificare l'apprendimento dei concetti, risultati e dimostrazioni trattati nel corso e la capacità di esposizione dello studente attraverso un uso corretto del formalismo matematico e dei procedimenti di ragionamento deduttivo.
Risultati attesi
Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza di:
- strutture algebriche elementari, matrici e loro operazioni
- spazi vettoriali e loro proprietà
- trasformazioni lineari e teoremi connessi
- algoritmi per la risoluzione di sistemi lineari
- condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
- prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei
- spazi euclidei; parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (in particolare in dimensione due e tre)
- teoria delle coniche.
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di:
- calcolare il determinante e il rango di una matrice
- discutere e risolvere sistemi lineari
- determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale
- determinare nucleo e immagine di una trasformazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
- calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice
- costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo
- rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei
- stabilire la mutua posizione tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
- classificare le coniche del piano euclideo e determinarne gli elementi fondamentali.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi altro momento del proprio percorso culturale.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.