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Carlo MERCURI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi Matematica II
Ingegneria Informatica (MO) (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Questo insegnamento fornisce gli elementi di base del calcolo differenziale per funzioni di due o più variabili reali, delle successioni e serie di funzioni e della teoria delle equazioni differenziali ordinarie. Tali conoscenze sono prerequisiti necessari per la prosecuzione del corso di studi, e favoriscono lo sviluppo di capacità di analisi e problem solving, molto spesso richieste nel mondo del lavoro.
Prerequisiti
E' richiesta la conoscenza degli argomenti trattati nel corso di Analisi Matematica I, con particolare riguardo per il calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una variabile, e per le successioni e serie numeriche.
E' inoltre richiesta una conoscenza di base delle applicazioni lineari tra spazi vettoriali di dimensione finita.
Programma del corso
Equazioni differenziali ordinarie. Equazioni del primo ordine in forma normale e nozione di soluzione. Problema di Cauchy. Equazioni differenziali lineari. Equazioni a variabili separabili. Intervallo di esistenza massimale. Equazioni lineari del primo ordine e problema di Cauchy associato: esistenza, unicità. Equazioni di Bernoulli e Riccati. Teorema di esistenza di Peano. Teorema di esistenza e unicità locale e globale. Equazioni lineari di ordine k a coefficienti variabili. Soluzione generale di un'equazione non omogenea. Equazioni a coefficienti costanti e polinomio caratteristico. Soluzione particolare di un'equazione con termine forzante quasi trigonometrico.
Elementi di topologia in RN. Limite e continuità. Teoremi di Bolzano-Weierstrass e Weierstrass. Derivata direzionale, derivate parziali, gradiente, Teorema di Fermat, teorema di Schwarz, studio dell'immagine di una funzione continua su un insieme compatto e connesso. Differenziale e gradiente e loro interpretazione geometrica. Derivazione di funzioni composte, caratterizzazione di funzioni a gradiente nullo, matrice Hessiana. Studio degli estremi locali. Formula di Taylor del secondo ordine. Teorema di classificazione dei punti a gradiente nullo utilizzando la matrice Hessiana. Interpretazione cinematica delle curve, vettore tangente come velocità, matrice Jacobiana, spazio tangente, vettore normale al grafico, equazione del piano tangente al grafico in un punto di una funzione C^1. Teorema della funzione implicita. Teorema del moltiplicatore di Lagrange e applicazioni.
Successioni di funzioni. Convergenza puntuale. Convergenza uniforme vs. integrali e derivate. Serie di funzioni e loro convergenza. M-test di Weierstrass. Funzioni periodiche. Coefficienti di Fourier. Convergenza puntuale ed uniforme della serie di Fourier. Serie complesse di Fourier. Considerazioni geometriche. Dimostrazione del teorema di esistenza e unicità globale per equazioni differenziali del primo ordine in forma normale.
Metodi didattici
Il corso si basa essenzialmente su lezioni frontali in cui i risultati della teoria vengono presentati con esempi che ne chiariscono il significato e l'utilità nel risolvere problemi matematici. La lezione ha spesso un format che favorisce la partecipazione con domande da parte degli studenti. Alcuni momenti delle lezioni conclusive di un argomento sono dedicate alla soluzione di problemi proposti in aula in cui è incoraggiato sia l'impegno individuale che la collaborazione, con feedback da parte del docente. Sono previste ore di esercitazioni e tutorato.
Testi di riferimento
N. Fusco - P. Marcellini - C. Sbordone, Elementi di Analisi Matematica due, Liguori Editore.
M. Bramanti - C. D. Pagani - S. Salsa, Analisi Matematica 2, Zanichelli Editore.
P. Marcellini - C. Sbordone, Esercizi di Matematica - Volume II, tomi 1 e 2, Liguori Editore.
M. Bramanti, Esercizi di Matematica 2 - Calcolo infinitesimale, ZANICHELLI Editore.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova scritta seguito da una prova orale. Per accedere alla prova orale è indispensabile superare la prova scritta. La prova scritta è composta da tre problemi, divisi eventualmente in sotto-quesiti. Ciascuno dei tre problemi riflette una delle tre parti principali del programma. L'orale verte su un argomento di approfondimento da parte del candidato, a cui si aggiungono delle domande integrative sul programma e sullo scritto. Sarà valutata in base all'input degli studenti l'opportunità di una o più simulazioni d'esame.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di analisi: Attraverso le lezioni in aula, il materiale e le attività didattiche svolte durante il corso, lo studente acquisirà le conoscenze di base sulle successioni e serie di funzioni, sulle equazioni differenziali e sul calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali.
Capacità di applicare le conoscenze acquisite: Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, lo studente svilupperà capacità per risolvere problemi matematici utilizzando le tecniche dell'analisi matematica.
Indipendenza nello studio di argomenti collegati: Al termine del corso lo studente sarà in grado di studiare in modo autonomo argomenti collegati con quelli del syllabus.
Abilità comunicative: Grazie all'interazione costruttiva con i docenti e con i colleghi, lo studente sarà in grado di interloquire con proprietà di linguaggio matematico sugli argomenti del corso.