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Carlo MERCURI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Teoria delle funzioni
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso fornisce conoscenze di base della teoria delle equazioni alle derivate parziali, dell'invertibilità locale di funzioni di classe C^1, della teoria del grado, della trasformata di Laplace e della misura di Hausdorff.
Per una più completa comprensione degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei risultati di apprendimento attesi a seguito dello svolgimento del presente percorso formativo.
Prerequisiti
Calcolo differenziale ed integrale per funzioni di più variabili reali. Convergenza puntuale ed uniforme per successioni e serie di funzioni. Equazioni differenziali ordinarie. Serie di Fourier. Calcolo differenziale per funzioni di una variabile complessa.
Programma del corso
EQUAZIONI ALLE DERIVATE PARZIALI (circa 2 CFU): equazioni alle derivate parziali lineari del secondo ordine di tipo ellittico, parabolico, iperbolico
- costruzione del nucleo di Poisson per il problema di Dirichlet nel piano,
- metodo di Fourier per l'equazione della propagazione del calore nel piano,
- metodo delle caratteristiche per l'equazione delle onde nel piano.
TRASFORMATA DI LAPLACE (circa 1 CFU): principali proprietà rispetto alle operazioni di derivazione e convoluzione; teorema di Pincherle sull'olomorfia della trasformata di Laplace; teorema di Lerch sull'unicità della trasformata di Laplace; formula di inversione della trasformata di Laplace.
FUNZIONI DEFINITE IMPLICITAMENTE (circa 1 CFU): invertibilità locale e teorema della funzione implicita nel caso vettoriale.
Il corso proseguirà con approfondimenti su tematiche concordate con gli studenti (per ulteriori 2 CFU) scelte ad esempio tra:
- approssimazione di funzioni continue,
- teoria del grado topologico,
- alcuni argomenti avanzati di analisi complessa.
Metodi didattici
Lezioni frontali ed esercitazioni in presenza, erogate in lingua italiana. La frequenza delle lezioni non è obbligatoria. Non sono previste modalità specifiche per studenti lavoratori, che possono contattare i docenti del corso per ricevimento e per indicazioni bibliografiche dettagliate.
Testi di riferimento
Durante il corso verranno date dispense e indicazioni bibliografiche.
Verifica dell'apprendimento
L'esame consiste in una prova orale, di circa 30 minuti, sugli argomenti definiti nella sezione “Programma del corso”, che mira all’accertamento della conoscenza della teoria e della padronanza degli strumenti di indagine teorica.
La prova ha inizio con un argomento a scelta dello studente. Successivamente vengono poste domande sul resto del programma per accertare la preparazione su tutti gli argomenti svolti.
Il punteggio è attribuito in trentesimi; precisamente, il voto minimo (18/30) corrisponde ad una conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza, mentre per la conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza si attribuisce il voto massimo (30/30 e lode). La graduazione dei voti intermedi si attribuisce in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali dimostrata durante la prova d’esame.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base della teoria delle funzioni di variabile complessa e delle equazioni alle derivate parziali.
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di maneggiare funzioni di variabili complessa, calcolare residui e integrali mediante residui, di affrontare diversi problemi relativi alle equazioni alle derivate parziali.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire argomentazioni teoriche e di riconoscerne la correttezza formale.
4. Abilità comunicative: Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, in parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.