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Claudia LANDI

Professore Associato
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria

Insegnamento: Geometria e algebra lineare

Ingegneria gestionale (D.M.270/04) (Offerta formativa 2022)

Obiettivi formativi

Il corso intende fornire le conoscenze di base di algebra lineare e geometria euclidea. Intende inoltre fornire la capacità di analizzare problemi algebrici e geometrici nonché sviluppare una mentalità orientata alla risoluzione di problemi modellabili con l'algebra lineare. Più in particolare al termine dell'insegnamento si sarà in grado di comprendere i concetti di base delle strutture algebriche di gruppo, campo, spazio vettoriale. Si conosceranno i principali elementi della teoria delle matrici e dei sistemi lineari, le proprietà delle trasformazioni lineari e le principali proprietà degli spazi vettoriali, anche euclidei. Si conosceranno i principali elementi della teoria degli spazi e sottospazi euclidei e della teoria delle coniche. Per una più completa descrizione degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei “Risultati di apprendimento attesi” a seguito dello svolgimento del presente percorso formativo.

Prerequisiti

Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette del piano e coniche come luoghi geometrici.

Per accedere all'esame è richiesto l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA). Si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del Dipartimento di Scienze e Metodi dell’Ingegneria (https://www.dismi.unimore.it/site/home/servizi/futuro-studente/obblighi-formativi-aggiuntivi-ofa.html).

Programma del corso

La suddivisione dei contenuti per CFU e il dettaglio degli argomenti trattati possono subire leggere modifiche nel corso dell’insegnamento, anche alla luce dei feedback degli studenti e delle studentesse.

54 ore corrispondenti a 6 CFU sono dedicate ai seguenti argomenti di Algebra Lineare:

1 - Insiemi e relazioni. Operazioni tra insiemi. Prodotto cartesiano. Relazioni ed applicazioni. Cardinalità di un insieme.

2 - Strutture algebriche. Gruppi, anelli e campi. Sottostrutture e morfismi. n-uple. L'anello dei polinomi.

3 - Operazioni tra matrici. L'anello delle matrici quadrate. Matrici regolari. Matrici ridotte e operazioni elementari. Permutazioni. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo del determinante. Minori e complementi algebrici. Teorema di Laplace. Matrice inversa.

4 - Spazi e sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Spazi finitamente generati. Dimensione. Componenti di un vettore.
Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta.

5 - Trasformazioni lineari. Nucleo e immagine. Relazione dimensionale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. Rango di una matrice. Cambiamenti di base.

6 - Sistemi lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni. Algoritmi di risoluzione. Rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi vettoriali.

7 - Autovalori e autospazi di operatori lineari. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Basi spettrali. Diagonalizzazione di matrici.

27 ore corrispondenti a 3 CFU sono dedicate ai seguenti argomenti di Geometria Euclidea:

1- Spazi vettoriali euclidei. Norme e prodotti scalari. Insiemi e basi ortonormali. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt.

2- Matrici ortogonali. Sottospazi e complementi ortogonali.

3 - Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Coordinate cartesiane. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra sottospazi euclidei. Distanza euclidea.

4 - Ampliamento proiettivo dello spazio euclideo, coniche, discriminante, polarità, classificazione euclidea, equazioni canoniche.

Metodi didattici

L’insegnamento viene erogato in lingua italiana mediante lezioni frontali in presenza. Le lezioni comprendono una parte teorica e una parte di esercitazioni. La parte teorica consolida la comprensione e conoscenza degli argomenti esposti. Le esercitazioni hanno lo scopo di affinare le capacità applicative dello studente e sono dedicate alla soluzione di esercizi di geometria e algebra lineare, facendo uso dei metodi teorici esposti. Le lezioni sono supportate da attività di tutorato disciplinare. La partecipazione a tali attività è facoltativa.

Testi di riferimento

I principali testi utilizzati sono/Principal reference textbooks are:

- Teoria/Theory

M. R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli, "Geometria", Ed. Esculapio, edizione 2022.

- Esercizi e Complementi/Exercises and Complements

A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", Ed. Esculapio (2014).

Possono inoltre essere consultati/Further textbooks:

- Teoria/Theory:

E. Schlesinger, "Algebra lineare e Geometria", Ed. Zanichelli, seconda edizione (2017).

S. Capparelli - A. Del Fra, "Geometria", Ed Esculapio, seconda edizione (2015).

- Esercizi e Complementi/Exercises and Complements:

L. Gualandri, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", Ed. Esculapio (2017).

L. Mauri, E. Schlesinger, "Esercizi di algebra lineare e geometria", Ed. Zanichelli, seconda edizione (2020)


Sulla pagina dell’insegnamento a cui si accede da https://moodle.unimore.it/ sono presenti esercizi proposti e risolti, testi di prove d’esame degli anni precedenti, quiz e altro materiale ritenuto utile.

Exercises, together with the corresponding solutions, quizzes, and other contents can be found on the moodle page of the course: https://moodle.unimore.it/

Verifica dell'apprendimento

L’esame si svolgerà al termine dell’insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d’esame.

Esso prevede:

* Una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente della capacità di analizzare e risolvere in autonomia problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici e problemi di geometria euclidea utilizzando tecniche algebriche.

*Una prova orale volta ad accertare la conoscenza e comprensione dei contenuti del corso, la capacità di collegare e applicare le conoscenze, la padronanza del linguaggio.

È consentito partecipare a più prove scritte d’esame consecutive, purché distanziate di almeno due settimane.

La prova scritta è articolata in due parti ed ha la durata complessiva di due ore. La prima parte (tempo a disposizione 30 minuti) prevede un quiz con risposta multipla tendente a verificare il livello di conoscenza teorica. La seconda parte (tempo a disposizione 90 minuti) verifica la capacità di applicare le nozioni teoriche in contesti concreti e prevede da parte dello studente la soluzione completa e articolata di 3 esercizi. Alla parte a quiz vengono assegnati massimo 12 punti, alla parte di esercizi vengono assegnati massimo 18 punti. Solo durante lo svolgimento degli esercizi è consentita la consultazione di libri e appunti cartacei. La prova scritta è superata se il punteggio complessivo è almeno pari a 15. Gli esiti della prova scritta vengono comunicati tramite ESSE3 mediamente entro una settimana dalla data di svolgimento della prova.

Alla prova orale si accede solo dopo aver superato la prova scritta. Una prova scritta superata resta valida per tutto l'anno accademico e per una sola prova orale.

Gli studenti iscritti al primo anno di corso possono sostenere due prove scritte parziali che, se superate, consentono di svolgere l’esame sostenendo solo la prova orale. La prima prova parziale sarà calendarizzata nel periodo di sospensione delle lezioni del primo semestre; la seconda dopo il termine delle lezioni del primo semestre indicato nel calendario delle attività didattiche.

Le prove parziali hanno durata di 60 minuti e prevedono la soluzione di quiz a scelta multipla volti a testare conoscenze teoriche e capacità applicative. Gli esiti delle prove parziali vengono comunicati tramite ESSE3, mediamente entro una settimana dalla data di svolgimento della prova. Si può accedere alla seconda prova parziale solo se il punteggio della prima prova è almeno 12/30. Possono svolgere l’esame sostenendo solo la prova orale coloro che hanno ottenuto un punteggio pari almeno a 12/30 in ciascuna prova parziale, unitamente a un punteggio medio, calcolato sulle due prove, pari almeno a 15/30.
La possibilità di accedere direttamente all’orale resta valida per tutto l'anno accademico e per una sola prova orale.

La prova scritta pesa indicativamente per un terzo del punteggio complessivo, la prova orale indicativamente per due terzi. Il voto finale è espresso in trentesimi.

Le regole illustrate si applicano ad esami in presenza. Tempi e modalità potranno variare a seguito di situazioni contingenti che costringano ed erogare esami online.

Risultati attesi

Conoscenza e capacità di comprensione:

1.Conoscere e comprendere i concetti di base sulle strutture algebriche di gruppo, campo, spazio vettoriale.
2. Conoscere e comprendere la teoria delle matrici.
3. Conoscere e comprendere le proprietà delle trasformazioni lineari.
4. Conoscere e comprendere le principali proprietà degli spazi vettoriali euclidei.
5. Conoscere e comprendere la teoria degli spazi e sottospazi euclidei.
6. Conoscere e comprendere la teoria delle coniche e delle quadriche euclidee.
7. Conoscere e comprendere i metodi principali della modellistica matematica basata sull'algebra lineare.

Conoscenza e capacità di comprensione applicate:

1.Analizzare e risolvere problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici.

2. Analizzare e risolvere problemi di geometria euclidea utilizzando tecniche algebriche.

3. Comprendere e analizzare la letteratura specifica.

Capacità di apprendimento:

1.Utilizzare in autonomia gli strumenti metodologici acquisiti utili al proseguimento degli studi e all'aggiornamento delle proprie conoscenze e competenze.

Autonomia di giudizio:

1.Scegliere autonomamente le metodiche di analisi e soluzione dei problemi relativi alle tematiche affrontate nel corso.
2. Saper collegare in modo logicamente coerente i vari concetti, conoscendo le principali argomentazioni messe a disposizione dalla teoria.

Abilità comunicative:

1.Saper esporre in modo chiaro gli argomenti affrontati nel corso, formulando le definizioni in modo adeguato.

2.Saper esporre i principali risultati teorici e l’articolazione logica delle relative dimostrazioni argomentando con precisione.