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Claudia LANDI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
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Insegnamento: Geometria e algebra lineare
Ingegneria gestionale (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire le conoscenze di base di algebra lineare e geometria euclidea. Intende inoltre fornire la capacità di analizzare alcuni problemi algebrici e geometrici nonché sviluppare una mentalità orientata alla risoluzione di problemi modellabili con l'algebra lineare. Più in particolare gli obiettivi di apprendimento attesi a seguito del completamento del corso e superamento del relativo esame sono, con riferimento ai descrittori di Dublino, i seguenti.
Conoscenza e capacità di comprensione:
1. Conoscenza e comprensione dei concetti di base sulle strutture algebriche di gruppo, campo, spazio vettoriale.
2. Conoscenza e comprensione della teoria delle matrici.
3. Conoscenza e comprensione delle proprietà delle trasformazioni lineari.
4. Conoscenza e comprensione delle principali proprietà degli spazi vettoriali euclidei.
5. Conoscenza e comprensione della teoria degli spazi e sottospazi euclidei.
6. Conoscenza e comprensione della teoria delle coniche e delle quadriche euclidee.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
7. Capacità di analizzare e risolvere problemi di algebra lineare utilizzando la teoria delle matrici.
8. Capacità di analizzare e risolvere problemi di geometria euclidea utilizzando tecniche algebriche.
Prerequisiti
Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette del piano e coniche come luoghi geometrici.
Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica e l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (OFA, si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del DISMI).
Programma del corso
1 - Insiemi e relazioni. Operazioni tra insiemi. Prodotto Cartesiano. Relazioni ed applicazioni. Cardinalità di un insieme.
2 - Strutture algebriche. Gruppi, anelli e campi. Sottostrutture e morfismi. n-uple. L'anello dei polinomi.
3 - Operazioni tra matrici. L'anello delle matrici quadrate. Matrici regolari. Matrici ridotte e operazioni elementari. Permutazioni. Determinante di una matrice quadrata. Proprietà del determinante. Metodi di calcolo del determinante. Minori e complementi algebrici. Teorema di Laplace. Matrice inversa.
4 - Spazi e sottospazi vettoriali. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Dipendenza e indipendenza lineare. Basi. Spazi finitamente generati. Dimensione. Componenti di un vettore. Somma e intersezione di sottospazi. Somma diretta.
5 - Trasformazioni lineari. Nucleo e immagine. Relazione dimensionale. Matrici associate ad una trasformazione lineare. Rango di una matrice. Cambiamenti di base.
6 - Sistemi lineari. Struttura dello spazio delle soluzioni. Algoritmi di risoluzione. Rappresentazione cartesiana e parametrica dei sottospazi vettoriali.
7 - Autovalori e autospazi di operatori lineari. Matrici simili. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica. Basi spettrali. Diagonalizzazione di matrici.
8 - Norme e prodotti scalari. Insiemi e basi ortonormali. Spazi vettoriali euclidei. Procedimento di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Matrici ortogonali. Sottospazi e complementi ortogonali.
9 - Spazi euclidei. Riferimenti cartesiani. Coordinate cartesiane. Sottospazi euclidei. Rappresentazioni di sottospazi euclidei. Condizioni di parallelismo e ortogonalità tra sottospazi euclidei. Distanza euclidea.
10 - Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo, coniche, discriminante, polarità, classificazione euclidea, equazioni canoniche.
Metodi didattici
Il corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni dedicate alla soluzione di esercizi di geometria e algebra facendo uso dei metodi teorici esposti. Le lezioni svolte dai docenti sono supportate da corsi di sostegno e attività di tutorato disciplinare. Vista la situazione sanitaria legata al COVID19, lezioni ed esercitazioni saranno disponibili in modalità a distanza asincrona (registrazioni) e l’interazione con gli studenti sarà garantita da attività in
diretta streaming. Tali metodologie potranno essere modificate in funzione dell’evoluzione della
situazione, garantendo comunque la fruizione a distanza di tutte le lezioni.
Testi di riferimento
Teoria:
M. R. Casali, C. Gagliardi, L. Grasselli, "Geometria", Ed. Esculapio, terza edizione (2016).
E. Schlesinger, "Algebra lineare e Geometria", Ed. Zanichelli, seconda edizione (2017).
S. Capparelli - A. Del Fra, "Geometria", Ed Esculapio, seconda edizione (2015).
Esercizi e Complementi:
A. Barani, L. Grasselli, C. Landi, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", Ed. Esculapio (2014).
L. Gualandri, "Algebra Lineare e Geometria: quiz ed esercizi commentati e risolti", Ed. Esculapio (2017) .
Verifica dell'apprendimento
L’esame prevede:
* Una prova scritta volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 7-8. La prova scritta prevede quiz con risposta multipla, tendenti a verificare il livello di conoscenza teorica, ed esercizi tendenti a verificare la capacità di applicare le nozioni teoriche in contesti concreti.
* Una prova orale volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 1-6 mediante l'esposizione di due temi proposti dal docente.
L’esame si svolge di norma in presenza ma, a seconda di come evolverà la situazione sanitaria legata al COVID19, potrà essere effettuato a distanza secondo modalità che verranno specificate per tempo.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione:
Tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sull'algebra lineare e acquisisce la capacità di comprenderne la letteratura specifica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Tramite le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi geometrici e algebrici.
Capacità di apprendimento:
Le attività descritte consentono allo studente di acquisire gli strumenti metodologici per proseguire gli studi e per potere provvedere autonomamente al proprio aggiornamento.
Abilità comunicative:
lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre in modo
chiaro gli argomenti affrontati nel corso argomentando con precisione.
Autonomia di giudizio:
Lo studente avrà sviluppato la capacità di scegliere autonomamente le metodiche di analisi e soluzione dei problemi relativi alle tematiche affrontate nel corso.