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Cristian GIARDINA'
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Scienze Comunicazione
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Insegnamento: Meccanica statistica
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
L'insegnamento si propone di introdurre allo studio critico dei modelli matematici della Meccanica Statistica.
L'insegnamento presenta il formalismo probabilistico (Teoria della Grandi Deviazioni) che sta alla base della meccanica statistica classica.
Al termine dell'insegnamento lo studente sarà in grado di
- calcolare la funzione grandi deviazioni;
- campionare eventi rari attraverso "importance sampling";
- descrivere lo stato di equilibrio di un sistema con un grande numero di gradi di libertà;
- identificare il parametro d'ordine di una transizione di fase;
- descrivere con linguaggio probabilistico una transizione di fase (rottura della legge dei grandi numeri, generalizzazioni del teorema del limite centrale).
Per un ulteriore approfondimento degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei "Risultati di
apprendimento attesi".
Prerequisiti
Conoscenze di base di fisica-matematica, di analisi e di Probabilita'.
Programma del corso
1) Richiami di teoria delle probabilita'. Risultati asintotici: legge dei grandi numeri, teorema del limite centrale (1CFU)
2) Grandi deviazioni. Teorema di Cramer per variabili indipendenti. Importance sampling. Teorema di Sanov per la misura empirica. Teorema di Gartner-Ellis per variabili dipendenti. Lemma di Varadhan. (1CFU)
3) Fondamenti della Meccanica Statistica. Insieme Equivalenza degli insiemi microcanonico e canonico. Misura di Boltzman-Gibbs. Gas perfetto. (1CFU)
4) Modello di Curie-Weiss. Calcolo della funzione di partizione e del parametro d'ordine. Legge dei grandi numeri e teoremi limite per le fluttuazioni. Esponenti critici. (1CFU)
5) Modello di Ising. Soluzione rigorosa in una dimensione: matrici di trasferimento. Calcolo della funzione e lunghezza di correlazione. Discussione della soluzione in 2 dimensioni. (1CFU)
6) Modello di Sherrington-Kirkpatric e transizione "spin glass". Interpolazione di processi gaussiani e soluzione di Parisi con il metodo delle repliche. (1CFU)
Metodi didattici
La didattica è basata su lezioni frontali alla lavagna o tramite ausilio di lavagne virtuali (tablet), nelle quali la materia viene sviluppata nei dettagli formali e debitamente
commentata. Il corso prevede lezioni teoriche sugli argomenti descritti nella sezione "Contenuti del corso" ed esercitazioni dedicate alla soluzione di semplici problemi.
Le domande e gli interventi degli studenti sono graditi e incoraggiati.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico, saranno caricati su piattaforma Moodle. Si invita lo studente ad iscriversi ed a consultare tale
piattaforma con regolarità.
Testi di riferimento
- Appunti del corso.
- Large Deviations, Frank den Hollander, Field Institute Monograph, American Mathematical Society, 2000
- Entropy, Large Deviations and Statistical Mechanics, Richard S. Ellis, Springer-Verlag 1985
Verifica dell'apprendimento
L'esame prevede una prova orale della durata di 30 minuti sugli argomenti definiti nella sezione "Contenuti del corso", che mira all'accertamento sia di una conoscenza operativa ed approfondita di tutti gli aspetti teorici della materia sia della capacità di affrontare e risolvere gli esercizi presentati
durante il corso.
La valutazione in trentesimi della prova viene resa nota allo studente al termine della prova stessa.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione:
Alla fine del corso lo studente, avendo acquisto alcune conoscenze di base della teoria della meccanica statistica, sarà in grado di comprendere i meccanismi elementari che regolano l'effetto degli eventi rari sulle proprietà globali di un sistema all'equilibrio. Al termine del corso, lo studente possiede un'esatta conoscenza del formalismo probabilistico e matematico che sta alla base della meccanica statistica classica.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso, lo studente avrà cognizioni sufficienti per svolgere l'analisi qualitativa di alcune proprietà, della meccanica statistica dei sistemi interagenti. In particolare approfondisce la teoria delle grandi deviazioni in relazione alla teoria dei processi stocastici, ed in questo modo puo' dare una descrizione rigorosa dei fenomeni di transizione di fase.
Autonomia di giudizio:
Alla fine del corso, lo studente dovrà possedere l'abilità necessaria per riconoscere quali metodi, fra quelli presentati durante il corso, siano adatti per lo studio qualitativo di un sistema complesso.
Abilità comunicative:
Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di esporre in modo chiaro e rigoroso usando un formalismo matematicamente corretto, gli argomenti presentati nel corso.
Capacità di apprendere:
Le attività descritte, in particolare le esercitazioni, consentono di acquisire gli strumenti metodologici indispensabili per potere autonomamente provvedere ad un adeguato aggiornamento
ed approfondimento, che permetta allo studente di affrontare anche problemi nuovi e non solo esercizi di applicazione automatica di quanto studiato.