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Camilla FELISETTI
Ricercatore t.d. art. 24 c. 3 lett. B
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Geometria
Fisica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Fornire le conoscenze di base e gli strumenti operativi dell'algebra lineare e della geometria euclidea del piano e dello spazio di dimensione tre.
Per una descrizione esplicita degli obiettivi formativi, si rimanda alla sezione sui risultati attesi.
Prerequisiti
Teoria elementare degli insiemi, quantificatori esistenziale e universale. Numeri naturali, interi, razionali, reali. Polinomi in una variabile, scomposizione di polinomi, equazioni algebriche.
Programma del corso
[1 CFU] STRUTTURE ALGEBRICHE fondamentali: gruppi, anelli, campi.
SPAZI VETTORIALI e sottospazi. Combinazioni lineari. Sistemi di generatori. Lineare dipendenza e indipendenza. Basi e dimensione. Somma e intersezione di sottospazi. Formula di Grassmann.
[1 CFU] MATRICI a coefficienti in un campo. Matrici notevoli. Permutazioni. Determinante di una matrice e metodi di calcolo del determinante. Matrice inversa. Operazioni elementari e riduzione a gradini. Rango di una matrice. Metodi di calcolo del rango.
SISTEMI LINEARI e loro discussione. Teorema di Rouché-Capelli. Sistemi di Cramer. Metodo di Gauss-Jordan. Algoritmi di risoluzione.
[1 CFU] APPLICAZIONI LINEARI e loro proprietà. Nucleo e immagine. Teorema della dimensione. Isomorfismi. Basi ordinate. COMPONENTI di un vettore rispetto a una base ordinata. Isomorfismo delle componenti. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi vettoriali. MATRICI ASSOCIATE a una applicazione lineare. Cambiamenti di base.
[1 CFU] Matrici simili. DIAGONALIZZAZIONE di operatori lineari e delle matrici associate. Autovalori, autovettori, autospazi. Polinomio caratteristico. Molteplicità algebrica e geometrica.
SPAZI VETTORIALI EUCLIDEI. Prodotto scalare, norma, angoli, ortogonalità. Basi ortonormali. Metodo di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio. Prodotto vettoriale. Prodotto misto.
Matrici ortogonali, diagonalizzazione di matrici reali simmetriche.
[1 CFU] SPAZI AFFINI e SPAZI EUCLIDEI. Definizioni e proprietà. Il piano euclideo reale. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta. Posizione reciproca di rette. Parallelismo e perpendicolarità tra rette. Distanza euclidea. Aree. Lo spazio euclideo reale di dimensione tre. Rappresentazione parametrica e cartesiana di una retta e di un piano. Posizioni reciproche di rette, di piani, di retta e piano. Parallelismo e perpendicolarità tra rette, tra piani, tra retta e piano. Distanze. Angoli. Volumi.
[1 CFU] TEORIA DELLE CONICHE. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo; punti propri e punti impropri. Equazioni omogenee e non omogenee di una conica. Retta tangente e retta polare ad una conica. Classificazione delle coniche del piano euclideo. Centro e assi. Equazioni canoniche. Fuochi e direttrici di una conica non degenere.
Metodi didattici
Attività in aula:
lezioni frontali, con contenuto teorico ed esercizi;
tutorato in aula, dove correggere esercizi assegnati agli studenti.
Frequenza: non obbligatoria, ma fortemente raccomandata.
Il corso è erogato in lingua italiana.
Testi di riferimento
M.R.CASALI, C. GAGLIARDI, L. GRASSELLI, Geometria, Società Editrice Esculapio, Bologna, 2022.
Sono altresì disponibili le note manoscritte delle lezioni sulla pagina Moodle del corso
Altri testi:
- F. BOTTACIN, Algebra Lineare e Geometria, Società Editrice Esculapio, Bologna 2021.
- S. LIPSCHUTZ, M. LIPSON, Algebra lineare – Terza edizione riveduta e corretta (collana Schaum's), McGraw-Hill Education, Milano, 2003.
- E. SERNESI, Geometria 1 Seconda Edizione, Bollati Boringhieri, Torino, 2000.
Testi di esercizi:
- C. BIGNARDI, B. RUINI, F. SPAGGIARI, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice Bologna, 1996.
- A. BARANI, L. GRASSELLI, C. LANDI, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005.
Verifica dell'apprendimento
Prova scritta finale ed esame orale.
La prova scritta dura due ore e richiede la risoluzione di esercizi simili a quelli proposti durante le lezioni. Risulta superata con un punteggio maggiore o uguale a 18/30.
Essa costituirà il 50% del voto finale.
L'esame orale si svolge nei giorni successivi alla prova scritta e dura tipicamente 30 minuti. Verifica la conoscenza di definizioni, teoremi, dimostrazioni, e la capacità di collegare e applicare tali conoscenze.
La votazione finale viene decisa al termine dell'esame orale, che costituirà il restante 50% del voto d'esame.
Conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza voto minimo (18/30)
Conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza voto massimo (30/30 e lode)
Graduazione dei voti intermedi in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi.
Il superamento della prova scritta rimane valido solo nell’appello di riferimento: lo studente che, dopo aver superato la prova scritta, non supera l'esame orale, dovrà sostenere nuovamente anche la prova scritta in un appello successivo.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione:
Alla fine del corso, lo studente conoscerà i concetti fondanti dell'algebra lineare e della geometria analitica, imparando a trovare modelli problemi derivanti dalla fisica e dalla matematica tramite questo linguaggio.
Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Alla fine del corso, lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze acquisite a problemi di meccanica razionale, relatività e sistemi dinamici derivanti dalla fisica.
Autonomia di giudizio:Alla fine del corso, lo studente dovrà possedere l'abilità necessaria per individuare in autonomia quali metodi risultano più adeguati per affrontare uno specifico problema derivante dalla fisica
Abilità comunicative: Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di dare definizioni in modo rigoroso e condurre una dimostrazione teorica dall'inizio alla fine.
Capacità di apprendimento: Alla fine del corso, lo studente dovrà essere in grado di approfondire in modo autonomo i principali aspetti degli argomenti proposti nel corso.