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Maria Rita CASALI

Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica

Insegnamento: Geometria e algebra lineare

Scienze strategiche (D.M.270/04) (Offerta formativa 2023)

Obiettivi formativi

Introduzione ai concetti ed alla strutture di base dell'algebra lineare e della geometria euclidea di dimensione due e tre, in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.
Attraverso lo studio della materia, lo studente impara ad utilizzare un linguaggio matematico appropriato e rigoroso, a ragionare in modo logico, a risolvere specifici problemi tramite applicazione del metodo più adatto.

Per un ulteriore approfondimento degli obiettivi formativi, si rimanda alla lettura dei Risultati di apprendimento attesi.

Prerequisiti

Sono necessarie conoscenze di base di matematica, il linguaggio fondamentale della teoria degli insiemi (argomenti contenuti nei programmi degli Istituti Superiori).

Programma del corso

[0.5 cfu] Strutture algebriche elementari.

[1 cfu] Matrici e loro operazioni. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa.

[1.5 cfu] Spazi vettoriali: combinazioni lineari; sistemi di generatori; basi e dimensione. Trasformazioni lineari; nucleo e immagine; equazione dimensionale; matrici associate. Rango di una matrice; algoritmi per il calcolo del rango. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi vettoriali. Cambiamenti di base.

[1 cfu] Discussione di un sistema lineare; struttura dello spazio delle soluzioni. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili.

[1 cfu] Similitudine di matrici; problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico; molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema spettrale.

[1 cfu] Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore; angoli, ortogonalità. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt.

[1.5 cfu] Geometria euclidea: sistemi di riferimento; sottospazi; mutue posizioni. Piano euclideo: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree; isometrie piane. Spazio euclideo di dimensione tre: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta e di un piano; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree e volumi. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo.

[1.5 cfu] Teoria delle coniche: equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate; supporto proprio e improprio. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Polarità. Centro di una conica e sue coordinate. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Caratterizzazione delle iperboli equilatere, delle ellissi vuote e delle circonferenze. Fuochi.

La scansione dei contenuti per CFU è da intendere come indicativa. Essa può infatti subire modifiche nel corso dell’insegnamento alla luce dei riscontri e della partecipazione degli studenti.

Metodi didattici

L'insegnamento consta di lezioni frontali (svolte in presenza, in Italiano, anche attraverso l'ausilio di strumenti multimediali), con innestata attività di esercitazione, che permetta l'applicazione immediata dei concetti e dei metodi teorici appresi.

Testi di riferimento

M.R. Casali - C. Gagliardi - L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2022 [quarta edizione: ISBN 978-88-9385-302-6].

Altri testi:
E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri, Torino, 1989;
A. Barani - L. Grasselli - C. Landi, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005;
C. Bignardi - B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice, Bologna, 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
S. Lipschutz, Algebra Lineare (collana Schaum - teoria e problemi), Etas ed., 1975.

Verifica dell'apprendimento

L’esame è svolto in forma scritta, senza l'ausilio di libri e/o appunti.
La prova scritta consiste in un test a risposta multipla, contenente sia domande teoriche che domande che richiedono lo svolgimento di esercizi numerici: per ciascuna domanda sono fornite quattro possibili risposte, di cui una soltanto corretta. Il punteggio si ottiene calcolando 3 punti per ogni risposta corretta, -1 punti per ogni risposta errata e 0 punti per ogni domanda a cui non si è data risposta.

All'interno della prova scritta, poi, lo svolgimento di una trattazione teorica di uno o più argomenti oggetto del corso, comprensiva di dimostrazioni, sarà facoltativo e riservato agli allievi che hanno raggiunto una prefissata soglia nel test a risposta multipla.

Per la attribuzione del voto si considera:
- conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza: voto minimo (18/30)
- conoscenza piena degli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza: voto massimo (30/30 e lode)
- graduazione dei voti intermedi in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali dimostrati durante la prova d’esame.

Risultati attesi

1. Conoscenza e capacità di comprensione
Tramite lezioni frontali e studio individuale, conoscenza di:
- strutture algebriche elementari, matrici e loro operazioni
- spazi vettoriali e loro proprietà
- trasformazioni lineari e teoremi connessi
- algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili
- condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
- prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei
- spazi euclidei; parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (in particolare in dimensione due e tre)
- teoria delle coniche.

2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione
Tramite le esercitazioni e il lavoro individuale, capacità di:
- calcolare il determinante e il rango di una matrice
- discutere e risolvere sistemi lineari
- determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale
- determinare nucleo e immagine di una trasformazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
- calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice
- costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo
- determinare il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo dato
- rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei
- stabilire la mutua posizione tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
- classificare le coniche del piano euclideo e determinarne gli elementi fondamentali.

3. Autonomia di giudizio
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.

4. Abilità comunicative
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi altro momento del proprio percorso culturale.

5. Capacità di apprendimento
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.