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Maria Rita CASALI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Geometria e algebra lineare
Scienze strategiche (Offerta formativa 2021)
Obiettivi formativi
Introduzione ai concetti ed alla strutture di base dell'algebra lineare e della geometria euclidea di dimensione due e tre, in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.
Attraverso lo studio della materia, lo studente impara ad utilizzare un linguaggio matematico appropriato e rigoroso, a ragionare in modo logico, a risolvere specifici problemi tramite applicazione del metodo più adatto.
Prerequisiti
Sono necessarie conoscenze di base di matematica, il linguaggio fondamentale della teoria degli insiemi (argomenti contenuti nei programmi degli Istituti Superiori).
Programma del corso
Strutture algebriche elementari.
Matrici e loro operazioni. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa.
Spazi vettoriali: combinazioni lineari; sistemi di generatori; basi e dimensione. Trasformazioni lineari; nucleo e immagine; equazione dimensionale; matrici associate. Rango di una matrice; algoritmi per il calcolo del rango. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi vettoriali. Cambiamenti di base.
Discussione di un sistema lineare; struttura dello spazio delle soluzioni. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili.
Similitudine di matrici; problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico; molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema spettrale.
Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore; angoli, ortogonalità. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt.
Geometria euclidea: sistemi di riferimento; sottospazi; mutue posizioni. Piano euclideo: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree; isometrie piane. Spazio euclideo di dimensione tre: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta e di un piano; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree e volumi. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo.
Teoria delle coniche: equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate; supporto proprio e improprio. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Polarità. Centro di una conica e sue coordinate. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Caratterizzazione delle iperboli equilatere, delle ellissi vuote e delle circonferenze. Fuochi.
Metodi didattici
L'insegnamento consta di lezioni frontali (svolte anche attraverso l'ausilio di strumenti multimediali), con innestata attività di esercitazione, che permetta l'applicazione immediata dei concetti e dei metodi teorici appresi.
Testi di riferimento
M.R. Casali - C. Gagliardi - L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2016 [terza edizione: ISBN 978-88-7488-976-1].
Altri testi:
E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri, Torino, 1989;
A. Barani - L. Grasselli - C. Landi, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005;
C. Bignardi - B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice, Bologna, 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
S. Lipschutz, Algebra Lineare (collana Schaum - teoria e problemi), Etas ed., 1975.
Verifica dell'apprendimento
L’esame è svolto in forma scritta, senza l'ausilio di libri e/o appunti.
La prova scritta consiste in un test a risposta multipla, contenente sia domande teoriche che domande che richiedono lo svolgimento di esercizi numerici: per ciascuna domanda sono fornite quattro possibili risposte, di cui una soltanto corretta. Il punteggio si ottiene calcolando 3 punti per ogni risposta corretta, -1 punti per ogni risposta errata e 0 punti per ogni domanda a cui non si è data risposta.
All'interno della prova scritta, poi, lo svolgimento di una trattazione teorica di uno o più argomenti oggetto del corso, comprensiva di dimostrazioni, sarà facoltativo e riservato agli allievi che hanno raggiunto una prefissata soglia nel test a risposta multipla.
Risultati attesi
Tramite lezioni frontali e studio individuale, conoscenza di:
- strutture algebriche elementari, matrici e loro operazioni
- spazi vettoriali e loro proprietà
- trasformazioni lineari e teoremi connessi
- algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili
- condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
- prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei
- spazi euclidei; parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (in particolare in dimensione due e tre)
- teoria delle coniche.
Tramite le esercitazioni e il lavoro individuale, capacità di:
- calcolare il determinante e il rango di una matrice
- discutere e risolvere sistemi lineari
- determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale
- determinare nucleo e immagine di una trasformazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
- calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice
- costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo
- determinare il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo dato
- rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei
- stabilire la mutua posizione tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
- classificare le coniche del piano euclideo e determinarne gli elementi fondamentali.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi altro momento del proprio percorso culturale.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.