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Maria Rita CASALI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Geometria
Ingegneria Informatica (MO) (Offerta formativa 2021)
Obiettivi formativi
Introduzione ai concetti ed alla strutture di base dell'algebra lineare e della geometria euclidea di dimensione due e tre, in collegamento con il loro utilizzo in altre discipline.
Attraverso lo studio della materia, lo studente impara ad utilizzare un linguaggio matematico appropriato e rigoroso, a ragionare in modo logico, a risolvere specifici problemi tramite applicazione del metodo più adatto.
Prerequisiti
Sono necessarie conoscenze di base di matematica, il linguaggio fondamentale della teoria degli insiemi (argomenti contenuti nei programmi degli Istituti Superiori).
Programma del corso
Strutture algebriche elementari: gruppi, anelli, campi.
Matrici e loro operazioni. Determinante di una matrice quadrata. Matrice inversa.
Spazi vettoriali: combinazioni lineari; sistemi di generatori; basi e dimensione. Trasformazioni lineari; nucleo e immagine; equazione dimensionale; matrici associate. Rango di una matrice; algoritmi per il calcolo del rango. Rappresentazione cartesiana e parametrica di sottospazi vettoriali. Cambiamenti di base.
Discussione di un sistema lineare; struttura dello spazio delle soluzioni. Sistemi di Cramer. Algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili.
Similitudine di matrici; problemi di diagonalizzazione. Autovalori, autovettori e autospazi. Polinomio caratteristico; molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore. Teorema spettrale.
Spazi vettoriali euclidei: prodotto scalare; norma di un vettore; angoli, ortogonalità. Basi ortonormali; procedimento di Gram-Schmidt. Complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo. Orientazione; prodotto vettoriale e prodotto misto.
Geometria euclidea: sistemi di riferimento; sottospazi; mutue posizioni. Piano euclideo: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree; isometrie piane. Spazio euclideo di dimensione tre: rappresentazione cartesiana e parametrica di una retta e di un piano; parallelismo ed ortogonalità; distanze; aree e volumi. Ampliamento proiettivo di uno spazio euclideo.
Teoria delle coniche: equazioni omogenee e non omogenee; matrici associate; supporto proprio e improprio. Coniche degeneri e non degeneri. Classificazione delle coniche non degeneri. Polarità. Centro di una conica e sue coordinate. Diametri. Asintoti. Assi e vertici. Equazioni canoniche euclidee delle coniche. Caratterizzazione delle iperboli equilatere, delle ellissi vuote e delle circonferenze. Fuochi e direttrici. Cenno ai fasci di coniche. Cenno alle quadriche dello spazio euclideo tridimensionale.
Metodi didattici
L'insegnamento consta di lezioni frontali (svolte anche attraverso l'ausilio di strumenti multimediali), con innestata attività di esercitazione, che permetta l'applicazione immediata dei concetti e dei metodi teorici appresi.
L'insegnamento consta anche di una attività di ESERCITAZIONI, svolta da un co-docente, dedicata soprattutto agli aspetti applicativi della materia.
L'insegnamento è affiancato poi da una attività di supporto alla didattica, svolta da personale qualificato al di fuori delle ore ufficiali di lezione, che fornisce agli studenti una ulteriore opportunità per la assimilazione dei contenuti teorici e dei metodi per la loro applicazione.
La frequenza alle lezioni non è obbligatoria, ma è fortemente consigliata. Il corso è erogato in lingua italiana.
Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico, saranno caricati su piattaforma Dolly. Si invita lo studente ad iscriversi e a consultare tale piattaforma con regolarità.
Testi di riferimento
M.R. Casali - C. Gagliardi - L. Grasselli, GEOMETRIA, Esculapio ed., Bologna, 2016 [terza edizione: ISBN 978-88-7488-976-1].
Altri testi:
E. Sernesi, Geometria I, Boringhieri, Torino, 1989;
A. Barani - L. Grasselli - C. Landi, Algebra Lineare e geometria - quiz ed esercizi commentati e risolti, Progetto Leonardo, Bologna, 2005;
C. Bignardi - B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Algebra Lineare, Pitagora Editrice, Bologna, 1996;
B. Ruini - F. Spaggiari, Esercizi di Geometria, Pitagora Editrice, Bologna, 2002;
L. Gualandri, Esercizi di algebra lineare e geometria, Esculapio ed., 1995.
S. Lipschutz, Algebra Lineare (collana Schaum - teoria e problemi), Etas ed., 1975.
Verifica dell'apprendimento
L’esame consta di una prova scritta ed una prova orale, entrambe svolte senza ausilio di testi e/o appunti.
La prova scritta consiste in un test a risposta multipla: 11 domande, alcune (usualmente 4) teoriche ed altre (usualmente 7) sotto forma di esercizi, ciascuna con quattro possibili risposte, di cui una soltanto corretta. Il punteggio si ottiene calcolando 3 punti per ogni risposta corretta, -1 punti per ogni risposta errata e 0 punti per ogni domanda a cui non si è data risposta.
Durante il periodo di lezione è possibile ottenere l’esonero dalla prova scritta - e quindi l’accesso diretto alla prova orale - tramite il superamento di due prove intermedie, della medesima tipologia delle prove scritte: una viene effettuata a metà corso, nella settimana di sospensione delle lezioni a inizio novembre, e l’altra subito dopo la fine delle lezioni. Per ottenere l’esonero dallo scritto – valido per tutto l’a.a. di riferimento - è necessario che entrambi i voti siano maggiori o uguali a 12, con media aritmetica maggiore o uguale a 15.
L’accesso all’orale attraverso la prova scritta d’esame è concesso - sempre all’interno dell’a.a. - se il voto è maggiore o uguale a 15.
In entrambi i casi (sia dopo aver superato le prove scritte intermedie che dopo aver superato uno scritto d’esame), se si sostiene una prova orale con esito negativo, la validità dello scritto rimane limitata ad una sola ulteriore prova orale all’interno dell’a.a.: dopo due orali negativi, la prova scritta perde di validità.
La prova orale è volta alla verifica della conoscenza teorica degli argomenti in programma e della capacità di argomentare su di essi, con un uso corretto del formalismo matematico e del pensiero ipotetico deduttivo (attraverso la dimostrazione di alcuni importanti risultati dell’algebra lineare e della geometria euclidea).
Il voto finale è stabilito dall’esaminatore sulla base della prova orale, tenendo conto anche del voto dello scritto; non c’è però alcun vincolo predeterminato tra i due punteggi.
Risultati attesi
Tramite lezioni in aula e studio individuale, conoscenza di:
- strutture algebriche elementari, matrici e loro operazioni
- spazi vettoriali e loro proprietà
- trasformazioni lineari e teoremi connessi
- algoritmi per la risoluzione dei sistemi lineari possibili
- condizioni di diagonalizzabilità per similitudine di una matrice
- prodotto scalare e spazi vettoriali euclidei
- spazi euclidei; parallelismo, ortogonalità e distanza tra sottospazi euclidei (in particolare in dimensione due e tre)
- teoria delle coniche.
Tramite le esercitazioni in aula, l’attività di supporto e il lavoro individuale, capacità di:
- calcolare il determinante e il rango di una matrice
- discutere e risolvere sistemi lineari
- determinare base e dimensione di uno spazio vettoriale
- determinare nucleo e immagine di una trasformazione lineare, verificando iniettività e/o suriettività
- calcolare gli autovalori e discutere la diagonalizzabilità di una matrice
- costruire basi ortonormali in uno spazio vettoriale euclideo
- determinare il complemento ortogonale di un sottospazio vettoriale euclideo dato
- rappresentare in forma cartesiana e parametrica i sottospazi euclidei
- stabilire la mutua posizione tra sottospazi euclidei e calcolarne la distanza
- classificare le coniche del piano euclideo e determinarne gli elementi fondamentali.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca a verificare tramite argomentazioni rigorose le affermazioni e i metodi presentati.
Capacità di autovalutazione delle proprie competenze ed abilità.
Capacità di affrontare in modo puntuale e coerente un confronto dialettico, argomentando con precisione.
Acquisizione delle conoscenze di tipo matematico come proprio patrimonio, da poter utilizzare in qualsiasi altro momento del proprio percorso culturale.
Attitudine ad un approccio metodologico che conduca ad un miglioramento del metodo di studio con conseguente approfondimento della capacità di apprendere.