 |
ANDRES MANZINI
Docente a contratto
Dipartimento di Ingegneria "Enzo Ferrari"
Docente a contratto
Dipartimento di Scienze e Metodi dell'Ingegneria
|
Insegnamento: Fondamenti di Analisi Matematica
Ingegneria gestionale (Offerta formativa 2020)
Obiettivi formativi
Il corso intende fornire le conoscenze di base: del calcolo differenziale ed integrale per funzioni di una o più variabili reali e delle equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili. Più in particolare, gli obiettivi di apprendimento attesi a seguito del completamento del corso e superamento del relativo esame sono, con riferimento ai descrittori di Dublino, i seguenti: Conoscenza e capacità di comprensione: 1. Conoscenza e comprensione dei concetti di base delle successioni di numeri reali e dei loro limiti. 2. Conoscenza e comprensione della nozione di limite per funzioni di variabile reale. 3. Conoscenza e comprensione della nozione di derivata di una funzione di variabile reale. 4. Conoscenza e comprensione dello studio del grafico di una funzione di variabile reale. 5. Conoscenza e comprensione dell’operazione di integrazione per funzioni di variabile reale. 6. Conoscenza e comprensione delle serie numeriche. 7. Conoscenza e comprensione delle equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili. 9. Conoscenza e comprensione del calcolo differenziale in più variabili per funzioni a valori reali. 10. Conoscenza e comprensione del calcolo integrale in più variabili per funzioni a valori reali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione 11. Capacità di analizzare e risolvere problemi relativi allo studio di funzioni di variabile reale. 12. Capacità di analizzare e risolvere problemi mediante il calcolo di integrali anche di funzioni di più variabili. 13. Capacità di analizzare e risolvere problemi mediante l’uso di equazioni differenziali. 14. Capacità di analizzare e risolvere problemi relativi all’ottimizzazione libera e vincolata di funzioni di più variabili reali.
Prerequisiti
Principali operazioni tra insiemi. Gli insiemi dei numeri naturali, interi, razionali, reali e loro principali proprietà. Algebra polinomiale. Equazioni e disequazioni algebriche. Potenze, radici e logaritmi. Funzioni trigonometriche. Equazioni di rette e coniche come luoghi geometrici. Per accedere all'esame è richiesto il superamento di una prova sulle conoscenze di base di matematica e l'assolvimento di eventuali Obblighi Formativi Aggiuntivi (si vedano a tal proposito le informazioni contenute nella relativa pagina web del Dipartimento di Scienze e Metodi dell’Ingegneria).
Programma del corso
1) Estremo superiore ed estremo inferiore. Assioma di completezza. 2) Successioni. Calcolo dei limiti. Forme di indecisione. Il numero di Nepero. Successioni infinitesime e infinite. 3) Funzioni limitate, simmetriche, monotone, periodiche. Limiti e continuità. Funzioni discontinue. Asintoti. Funzioni composte e invertibili. Teorema degli zeri, di Weierstrass e dei valori intermedi. Limiti notevoli. Funzioni infinite ed infinitesime. 4) Derivata e retta tangente. Punti angolosi, cuspidi, flessi a tangente verticale. Continuità e derivabilità. Regole di derivazione e derivate fondamentali. Punti stazionari; massimi e minimi locali. Teoremi di Fermat e del valor medio. Primitive. Test di monotonia. Ricerca di massimi e minimi relativi ed assoluti. Teorema di De L'Hospital. Derivata seconda, concavità e convessità. Flessi. 5) L'integrale come limite di somme. Teorema della media. Primo teorema fondamentale del calcolo integrale. Integrazione per sostituzione e per parti. Integrale indefinito. Funzioni integrali. Secondo teorema fondamentale del calcolo integrale. 6) Serie numeriche convergenti, divergenti e irregolari. Serie a termini non negativi, a segni alterni e di segno qualunque. 7) Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano e secondo Lagrange. Sviluppi in serie di Taylor. 8) Numeri complessi. 9) Equazioni differenziali ordinarie lineari e a variabili separabili. 10) Calcolo differenziale per funzioni di più variabili reali. 11) Ottimizzazione libera e vincolata di funzioni di più variabili reali. 12) Integrali doppi e tripli.
Metodi didattici
Il corso prevede lezioni teoriche ed esercitazioni dedicate alla soluzione di esercizi su tutti gli argomenti del corso. Le lezioni sono supportate da corsi di sostegno e attività di tutorato disciplinare. Le lezioni teoriche e le esercitazioni verranno svolte a distanza a causa della situazione sanitaria COVID19. Esse saranno, prevalentemente, in modo asincrono e registrate. Sono, tuttavia, previsti incontri settimanali mediante l'uso di una piattaforma che verrà indicata per tempo.
Testi di riferimento
M. Bramanti - C.D. Pagani - S. Salsa, ANALISI MATEMAICA 1 e 2 Zanichelli, 2009.
M. Bramanti: Esercitazioni di Analisi 1 e 2 Ed. Esculapio, Bologna, 2011.
Verifica dell'apprendimento
L’esame prevede: 1. una prova scritta, della durata di 120 minuti l’una, volta a verificare il conseguimento, da parte dello studente, degli obiettivi di apprendimento 11-12 e 13-14. Essa si compone di quattro esercizi la cui corretta risoluzione comporta il medesimo punteggio. Non è permesso, durante la prova, utilizzare: appunti, libri, dispense o manuali; è possibile fare uso di una calcolatrice non scientifica. 2. Una prova orale volta a verificare il conseguimento da parte dello studente degli obiettivi di apprendimento 1-10. L'accesso alla prova orale è consentito solamente a coloro che abbiano superato entrambe la prova scritta. La prova orale verte sulla verifica della comprensione dei concetti fondamentali e sulla conoscenza delle definizioni e degli enunciati dei principali risultati. Di alcuni teoremi, specificati durante il corso, potrà essere richiesta la dimostrazione. Il voto dell’esame è il risultato della media aritmetica delle valutazioni delle due prove. Le prove potrebbero essere svolte in presenza o a distanza a seconda dell'evoluzione della situazione COVID19.
Risultati attesi
Conoscenza e capacità di comprensione: tramite lezioni in aula, lo studente apprende i metodi principali della modellistica matematica basata sugli strumenti dell'analisi matematica. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: tramite le esercitazioni pratiche, lo studente è in grado di applicare le conoscenze acquisite per la risoluzione di problemi che richiedono strumenti tipici dell'analisi matematica. Autonomia di giudizio: lo studente avrà sviluppato la capacità di scegliere autonomamente i metodi di analisi e soluzione dei problemi relativi al programma del Corso. Abilità comunicative: lo studente avrà sviluppato la capacità di esporre in modo chiaro gli argomenti affrontati nel Corso. Capacità di apprendimento: le attività descritte consentono allo studente di acquisire gli strumenti metodologici per potere provvedere autonomamente al proprio aggiornamento.