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Cristina ACCIARRI
Ricercatore t.d. art. 24 c. 3 lett. B
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Algebra A
Matematica (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire le basi per lo studio dell'algebra astratta, portare lo studente all’uso del linguaggio matematico simbolico; di educare all'astrazione matematica; di fornire conoscenze di Fondamenti di Matematica. Un approfondimento speciale sarà dedicato all'introduzione alla Teoria dei Gruppi.
Prerequisiti
Elementi di Teoria degli insiemi. Insiemi numerici: naturali, razionali, reali, complessi. Calcolo algebrico nell'insieme dei numeri reali.
Programma del corso
La scansione dei contenuti per CFU è da intendere puramente indicativa. Essa può subire modifiche nel corso dell'insegnamento alla luce dei feedback degli studenti.
(3 CFU): Proprietà delle operazioni con gli insiemi. Relazioni di equivalenza e di ordine. Costruzione dell'insieme dei numeri interi e dell'insieme dei numeri razionali. La relazione di congruenza, proprietà e applicazioni. Caratterizzazione e proprietà delle applicazioni tra insiemi. Principio di induzione. MCD e teoremi relativi, identità di Bézout. Numeri primi e proprietà. Il teorema fondamentale dell'aritmetica. Teorema cinese del resto. Piccolo teorema di Fermat. Funzione di Eulero. Insiemi finiti e infiniti. Elementi di teoria della cardinalità. Teorema fondamentale di Cantor sul numerabile.
(6 CFU): GRUPPI: Definizioni e prime proprietà. Esempi.Ordine di un elemento. Sottogruppi. Gruppi abeliani. Gruppi finiti. Gruppi di permutazioni e decomposizione di permutazioni in cicli disgiunti. Gruppo simmetrico, alterno,delle rotazioni, diedrico. Gruppi ciclici. Laterali di un sottogruppo. Teoremi di Lagrange, di Sylow, di Cauchy. Sottogruppi normali. Gruppi semplici. Semplicità del gruppo alterno per n>4. Gruppo quoziente. Omomorfismi. Isomorfismi. Teoremi di omomorfismo. Centro di un gruppo. Automorfismi ed automorfismi interni. Teorema di Cayley. Sottogruppi caratteristici. Azione di un gruppo su un insieme. Orbitee stabilizzatori. Teorema di Burnside. Commutatori e sottogruppo derivato. Gruppi risolubili. Catene di sottogruppi. Non risolubilità del gruppo simmetrico per n>4. Ogni p-gruppo finito (p primo) è risolubile. Ogni gruppo di ordine p^2 (p primo) è abeliano. Caratterizzazione dei gruppi semplici risolubili. Prodotto diretto di gruppi. Gruppo prodotto diretto di suoi sottogruppi. Caratterizzazione di tutti i gruppi abeliani finiti.
Cenni sui gruppi liberi, generatori e relazioni. Gruppi finitamente generati e finitamente presentati.
Metodi didattici
I contenuti vengono presentati mediante lezioni frontali con esercizi ed applicazioni.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata. Il corso è erogato in lingua italiana. Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico saranno caricati su piattaforma moodle.unimore.it
Non sono previste modalità solo per studenti lavoratori Gli studenti non frequentanti possono prepararsi sui testi consigliati ed il materiale caricato nella piattaforma Moodle.
Testi di riferimento
Libri di testo suggeriti:
D. Dikranjan e M. S. Lucido, Aritmetica e algebra, Liguori Ed., 2007
G.M. Piacentini Cattaneo, “Algebra. Un approccio algoritmico”. Zanichelli, 1996
I.M. Isaacs: Algebra, Graduate Studies in Mathematics vol.100, AMS, 2009
N. Jacobson, Basic Algebra I, Dover Publications; Second edition, 2009
Verifica dell'apprendimento
La verifica del profitto avverrà tramite esame orale. L'esame prevede dimostrazioni, domande ed esercizi volti a verificare i contenuti del corso e la capacità di collegare fra loro i vari concetti studiati.
Al candidato sarà chiesto di presentare gli argomenti più importanti svolti duranti il corso e di risolvere esercizi su queste tematiche.Verrà valutata la capacità espositiva di una dimostrazione con particolare riguardo al linguaggio matematico. Tramite domande dirette o applicate a esercizi/esempi specifici, verrà valutata la capacità di collegare fra loro definizioni e teoremi oggetto del programma.
La prova ha una durata media di 45 minuti. Il voto in trentesimi è comunicato immediatamente al singolo studente al termine della sua prova orale.
Conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza necessaria per ottenere il voto minimo (18/30). Conoscenza piena di tutti gli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza per ottenere il voto massimo (30/30 e lode). La graduazione dei voti intermedi è fatta in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali, dimostrata durante la prova orale.
Risultati attesi
-Conoscenze e capacità di comprensione: Il corso si propone di fornire le basi per lo studio e la comprensione dell'algebra astratta; di illustrare alcune applicazioni; di educare all'astrazione matematica.
-Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze e i teoremi appresi a problemi algebrici e di tipo combinatorio inerenti il programma svolto.
-Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo i diversi approcci e metodi risolutivi per le problematiche tipiche dell'algebra.
-Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare sugli argomenti trattati nel corso, con un linguaggio matematico appropriato e un formalismo matematico corretto.
-Capacità di apprendimento: lo studio permetterà lo sviluppo della capacità di studio autonomo e di approfondire argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.