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Cristina ACCIARRI
Ricercatore t.d. art. 24 c. 3 lett. B
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Strutture algebriche
Matematica (Offerta formativa 2023)
Obiettivi formativi
Obiettivo del corso è quello di studiare e/o approfondire argomenti scelti di Algebra Superiore e di illustrare loro applicazioni.
-Conoscenze e capacità di comprensione: Il corso si propone di fornire le basi per lo studio di argomenti sceti di Algebra Superiore; di illustrare alcune applicazioni.
-Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze a problemi inerenti il programma svolto.
-Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo i diversi approcci e metodi risolutivi per le problematiche tipiche dell'Algebra.
-Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo corretto.
-Capacità di apprendimento : Lo studio permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.
Prerequisiti
Teoria dei gruppi, polinomi a coefficienti in un campo, teoria degli anelli e dei campi.
Programma del corso
L'insegnamento corrisponde a 6 CFU per un totale di 42 ore di didattica frontale.
(0,5CFU)Teoria classica dei campi e la teoria di Galois.
Richiami sui polinomi e le loro radici. Criteri di irriducibilita'.
(2 CFU)Teorema di Artin sulle estensioni semplici. Estensioni separabili e inseparabili. Campi di spezzamento. Chiusura algebrica di un campo. Estensioni di Galois e teorema fondamentale.
(2 CFU)Estensioni ciclotomiche ed estensioni radicali. Gruppi risolubili. Risolubilita' per radicali. Teorema di Galois. Costruzioni con riga e compasso.
(1,5 CFU) Funzioni e polinomi simmetrici. L'equazione di grado n e il suo gruppo di Galois. Norme, tracce e discriminanti. Gruppi di Galois di polinomi fino al 4 grado. Teorema di Dedekind- riduzione mod p.
Metodi didattici
I contenuti vengono presentati mediante lezioni frontali con esercizi ed applicazioni.
La frequenza non è obbligatoria, ma fortemente consigliata. Il corso è erogato in lingua italiana. Tutte le informazioni tecniche e organizzative sull'insegnamento, nonché il materiale didattico saranno caricati su piattaforma moodle.unimore.it
Non sono previste modalità solo per studenti lavoratori. Gli studenti non frequentanti possono prepararsi sui testi consigliati ed il materiale caricato su piattaforma Moodle.
Testi di riferimento
Libri di testo suggeriti:
I.M. Isaacs: Algebra, Graduate Studies in Mathematics vol.100, AMS, 2009
J.S.Milne: Fields and Galois Theory, disponibile in rete http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/FT.pdf
D.J.H. Garling, A course in Galois Theory, Cambridge University Press 1986
J. Rotman, Galois Theory, 2nd edition, Springer 1998
D. A. Cox, Galois Theory, 2nd edition, Jhon Wiley & Sons, Inc 2012.
Verifica dell'apprendimento
La verifica del profitto avverrà tramite esame orale. L'esame prevede dimostrazioni, domande ed esercizi volti a verificare i contenuti del corso e la capacità di collegare fra loro i vari concetti studiati.
Al candidato sarà chiesto di presentare gli argomenti più importanti svolti duranti il corso e di risolvere esercizi su queste tematiche.
La prova ha una durata media di 1 ora. Il voto in trentesimi è comunicato immediatamente al singolo studente al termine della sua prova orale.
Conoscenza basilare degli argomenti e capacità parziale di applicare la conoscenza necessaria per ottenere il voto minimo (18/30). Conoscenza piena di tutti gli argomenti e capacità ottima di applicare la conoscenza per ottenere il voto massimo (30/30 e lode). La graduazione dei voti intermedi è fatta in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresi quelli trasversali, dimostrata durante la prova orale.
Risultati attesi
- Conoscenze e capacità di comprensione: Il corso si propone di fornire lo studio approfondito di argomenti scelti di Algebra Superiore, in particolare di Teoria di Galois.
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione: al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare le conoscenze e i teoremi appresi a problemi algebrici inerenti il programma svolto. Sarà in grado di condurre autonomamente dimostrazioni relative a argomenti di Teoria di Galois. Sarà in grado di esporre i concetti principali in modo rigoroso e di dimostrare i risultati principali della teoria. Sarà in grado di applicare i concetti appresi alla soluzione di esercizi e all’approfondimento di problematiche avanzate di Teoria di Galois.
- Autonomia di giudizio: al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo i diversi approcci e metodi risolutivi per le problematiche tipiche della Teoria di Galois e di problemi algebrici ad essa correlati. Avrà capacità critica nella lettura di testi e articoli.
- Abilità comunicative: al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare sugli argomenti trattati nel corso con un linguaggio matematico appropriato e un formalismo corretto. Sarà in grado di relazionare in seminari su argomenti specifici.
- Capacità di apprendimento : Lo studio permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.