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Dipartimento Educazione e Scienze Umane
Dipartimento Educazione e Scienze Umane sede ex-Fisica

Contenuti Insegnamento: Metodi matematici per la fisica

Corso di studio: FISICA (D.M. 270/04) (offerta formativa anno 2017)
  • CFU: 9
  • SSD: FIS/02

Obiettivi formativi

Conoscenza e capacita` di comprensione Alla fine del corso lo studente acquisira` le conoscenze di base degli strumenti matematici che costituiscono il supporto delle moderne teorie fisiche: la teoria delle funzioni analitiche, degli spazi vettoriali lineari, la teoria degli operatori lineari, degli spazi funzionali, degli spazi di Hilber, delle serie e ldele trasformate di Fourier, e dovra` essere in grado di comprenderne le potenzialita` applicative. Capacita` di applicare conoscenza e comprensione Alla fine del corso lo studente dovra` sviluppare la capacita` di applicare tali conoscenze per il calcolo di integrali in campo complesso, per la diagonalizzazione di matrici in spazi vettoriali lineari, per trattare gli spazi funzionali, per il calcolo di serie e trasformate di Fourier. Autonomia di giudizio Al termine del corso lo studente avra` sviluppato la capacita` di scegliere autonomamente l'approccio matematico corretto per affrontare le varie problematiche incontrate nel corso. Abilita` comunicative Al temine del corso lo studente sara` in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropiato ed utilizzando in modo corretto il formalismo matematico. Capacita` di apprendimento Al termine del corso lo studente avra` sviluppato la capacita` di approfondire in modo autonomo i vari argomenti trattati, in modo necessariamente limitato, durante le lezioni.

Prerequisiti

Conoscenze di base di calcolo analitico: calcolo integrale e differenziale. Conoscenze di base di calcolo matriciale.

Programma del corso

1)Richiami di analisi vettoriale. Operatori differenziali. Integrazione di vettori. Teoremi di Gauss, Green e Stokes con dimostrazione. Coordinate curvilinee ortogonali. 2)Funzioni complesse di variabile complessa. Funzioni analitiche e condizioni di Cauchy-Riemann con dimostrazione. Diseguaglianza di Darbaux con dimostrazione. Teorema di Cauchy con dimostrazione. Rappresentazione integrale di Cauchy con dimostrazione. Enunciato del Teorema di Morera. Enunciato del Teorema di Cauchy-Liuville. Serie di Taylor. Serie di Laurent. Classificazione delle singolarità. Metodo dei residui e sue applicazioni. Lemma di Jordan con dimostrazione e sue applicazioni. Funzioni polidrome. Le funzioni Gamma e Beta di Eulero. 3) Cenni alla teoria delle distribuzioni temperate. Funzioni a supporto limitato. Limite debole di successsioni divergenti di funzioni. Rappresentazioni delle distribuzioni. La distribuzione delta di Dirac e le sue proprietà. 4) Spazi vettoriali lineari a dimensione finita. Prodotto scalare. Spazi duali e diseguaglianze di Cauchy-Swartz. Spazi metrici. Operatori lineari. Inverso destro e sinistro di un operatore. Operatore aggiunto. Operatori di proiezione. Vettori linearmente indipendenti. Processo di ortonormalizzazione di Schmidt. Rappresentazione di un operatore lineare in uno spazio N-dimensionale. Cambiamento di base di vettori a matrici in uno spazio N-dimensionale. Componenti covarianti a controvarianti. Algebra delle Matrici. Problema agli autovalori. Sottospazi invarianti. Equazione caratteristica ed enunciato del Teorema di Hamilton-Cayley. Diagonalizzazione simultanea di matrici hermitiane. 5) Spazio delle funzioni continue. Prodotto scalare in spazi funzionali. Integrale alla Lebesgue. Enunciato del Teorema di Riesz-Fisher. Funzioni a quadrato sommabile. Diseguaglianza di Bessel . Sviluppo formale in serie di Fourier. Convergenza in media. Sistemi chiusi e completi. Spazi di Hilbert. Trasformate di Fourier.

Testi di riferimento

Arfken, Methematical Methods for physicists, Academic Press Dennery and Krzywicki, Mathematics for physicists, Dover Rossetti, Metodi matematici della fisica, Levrotto e Bella Cicogna, Metodi matematici della Fisica, Springer

Metodi Didattici

Lezioni frontali partecipate ed esercitazioni numeriche svolte in classe Ricevimento studenti: Venerdì 14.30-17.00 oppure su appuntamento.

Verifica dell'apprendimento

Esame scritto e orale. Svolgimento di due prove scritte parziali durante l'anno che possono dare l'esenzione dalla prova scritta d'esame. L'esenzione dura un anno accademico. L'esame puo' essere suddiviso in due parti per studenti con DSA accertati.

Risultati attesi

Conoscenza e capacità di comprensione: Tramite le lezioni in aula e il materiale didattico eventualmente fornito al termine del corso lo studente avrà le conoscenze di base della della teoria delle funzioni analitiche, degli spazi vettoriali lineari e degli spazi funzionali. Capacità di applicare conoscenza e comprensione: Tramite le esercitazioni numeriche effettuate in aula al termine del corso lo studente sarà in grado di applicare queste conoscenze a problemi di fisica che convolgono i contenuti citati Autonomia di giudizio: Grazie alla varieta' di esempi forniti al termine del corso lo studente sarà in grado di riconoscere in modo autonomo gli approcci descrittivi e i metodi di calcolo appropriati ai diversi tipi di problemi di fisica moderna. Abilità comunicative: Grazie alle discussioni con il docente e il colloquio finale al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico e formalismo appropiati. Capacità di apprendimento: Lo studio, in buona parte eseguito su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.