 |
Michela ELEUTERI
Professore Ordinario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
|
Insegnamento: Convex analysis and optimization
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso si propone di fornire agli studenti le basi dell'analisi convessa e dello studio di metodi numerici di ottimizzazione convessa, con lo scopo di poter applicare questi concetti nell'ambito dell'apprendimento statistico e del machine learning, aree di sicuro interesse e attualità.
Prerequisiti
-Corsi di base di Analisi Matematica. Non costituisce prerequisito il corso di Analisi Superiore.
- Elementi di base di Analisi Numerica (condizionamento e stabilità, complessità computazionale, metodi iterativi, algebra lineare numerica)
-Elementi di base di programmazione in ambiente Matlab.
Programma del corso
La scansione dei contenuti per CFU è da intendere come puramente indicativa. Essa può infatti subire modifiche nel corso dell’insegnamento alla luce dei feedback degli studenti e delle studentesse.
Prima parte: fondamenti di Analisi Convessa
1 CFU (7 ore)
Introduzione generale ai problemi di minimo
Funzioni semicontinue inferiormente
Funzioni semicompatte e problemi di minimo
Insiemi convessi e funzioni convesse
1 CFU (7 ore)
Funzioni convesse semicontinue inferiormente
Teorema prossimale
Teoremi di separazione
Caratterizzazione delle funzioni convesse semicontinue inferiormente tramite funzioni coniugate
1 CFU (7 ore)
Teorema di Fenchel
Proprietà delle funzioni coniugate
Funzioni supporto
Sottodifferenziale: proprietà e regole di calcolo
Cono tangente e cono normale
Seconda parte: ottimizzazione convessa
1 CFU (7 ore)
Condizioni di ottimalità per problemi di ottimizzazione composita.
Metodi forward-backward; selezione della lunghezza di passo, analisi di convergenza, casi particolari (metodo proximal point)
1 CFU (7 ore)
Metodi del subgradiente.
Metodi primali-duali: lagrangiana aumentata e metodo delle direzioni alternate dei moltiplicatori.
1 CFU (7 ore)
Applicazioni a problemi di analisi dei segnali e di apprendimento automatico.
Metodi didattici
L’insegnamento viene erogato mediante lezioni frontali ed esercitazioni in presenza che vengono svolte con l’ausilio di lavagna, mezzi audiovisivi (slides) ed ambiente di calcolo Matlab.
La frequenza alle lezioni frontali e alle esercitazioni in presenza non è obbligatoria.
L’insegnamento è erogato in lingua italiana.
Per gli studenti lavoratori, verrà messo a disposizione il materiale corrispondente alle lezioni sulla piattaforma moodle.
Testi di riferimento
Il materiale di riferimento del corso saranno le dispense e le slides dei docenti, che verranno fornite agli studenti prima dell'inizio delle rispettive parti.
Un eventuale testo non obbligatorio ma consigliato per approfondire le tematiche sviluppate nel corso è il seguente
[1] J.-P. Aubin, Optima et Equilibria: An Introduction to Nonlinear Analysis, Springer, 1998.
Verifica dell'apprendimento
L'esame si svolgerà al termine dell’insegnamento secondo il calendario ufficiale degli appelli d’esame. La prova è orale, della durata 30-40 minuti circa.
L’esame prevede 4 quesiti di cui una domanda aperta e un esempio significativo relativo alla prima parte del corso e la descrizione di un algoritmo e di una sua applicazione, tra quelli presentati nella seconda parte.
Tali quesiti sono finalizzati a valutare:
- le conoscenze e le capacità di comprensione;
- l’applicazione di conoscenze e capacità di comprensione;
- la capacità di collegare le diverse conoscenze tra esse;
- le abilità comunicative;
- l’autonomia di giudizio.
Il voto riportato nell’esame è dato dalla valutazione complessiva alla luce delle risposte alle 4 domande. Più nel dettaglio: conoscenza basilare degli argomenti e capacità sufficiente di applicare la conoscenza corrisponde al voto minimo (18/30), conoscenza piena degli argomenti ed eccellente capacità di applicare la conoscenza corrisponde al voto massimo (30/30 e lode), graduazione dei voti intermedi in base al raggiungimento dei risultati di apprendimento attesi, compresa la capacità di rielaborazione e padronanza degli argomenti trattati.
L'esito sarà comunicato al singolo studente alla fine della prova orale.
Risultati attesi
1. Conoscenza e capacità di comprensione:
Al termine del corso lo studente avrà una conoscenza approfondita dei fondamenti dell'analisi convessa, dei metodi di ottimizzazione convessa e delle sue principali applicazioni nella direzione dell'elaborazione dei segnali e del machine learning
2. Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
Grazie ad una approfondita conoscenza delle basi dell'analisi convessa e dei metodi di ottimizzazione convessa lo studente sarà in grado di individuare autonomamente percorsi e strategie per modellare e risolvere problemi matematici utilizzando con accuratezza le tecniche e i metodi dell'analisi e dell'ottimizzazione convessa.
3. Autonomia di giudizio:
Al termine del corso lo studente avrà perfezionato la propria abilità di gestire le argomentazioni teoriche presentate e le corrispondenti attività di laboratorio
4. Abilità comunicative:
Al termine del corso lo studente sarà in grado di relazionare oralmente sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto.
5. Capacità di apprendimento:
Lo studio, eseguito interamente su testi in lingua inglese, permetterà lo sviluppo di abilità di apprendimento autonomo e di approfondimento di argomenti collaterali a quelli presentati nel corso.