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Carlo MERCURI
Professore Associato
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Analisi Matematica II
Ingegneria civile e ambientale (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Lo scopo del corso è fornire le conoscenze teoriche di base e le tecniche essenziali del calcolo infinitesimale, nella loro versione più semplice, ovvero per funzioni scalari di una variabile reale. Particolare attenzione verrà rivolta agli esercizi, mentre la parte di deduzione rigorosa verrà svolta solo per alcuni dei risultati enunciati: iò sarà chiarito attraverso un programma dettagliato fornito alla fine del corso.
Prerequisiti
Il corso è rivolto a studenti che hanno una conoscenza di base della struttura dell'insieme dei numeri reali, delle equazioni algebriche di grado primo e secondo e delle disequazioni algebriche e razionali. Un rapido ripasso di tali argomenti, con particolare attenzione ad una definizione rigorosa di numero reale, verrà fornito dal docente all'inizio del corso-
Programma del corso
Strutture numeriche, numeri reali. Cenno ad una definizione rigorosa di numero reale (sezioni di Dedekind: un cenno alla costruzione di Cantor di numero reale basata sul completamento dei razionali e sul concetto di successione di Cauchy sarà dato più avanti nel corso). Estremo superiore e inferiore di un sottoinsieme dei reali. Cenno alla topologia standard sull'insieme dei numeri reali. Successioni numeriche, concetto di limite per successioni. Limiti di successioni monotone. Algebra dei limiti di successioni. Permanenza del segno. Teorema: ogni successione limitata ammette una sottosuccessione convergente. Cenno alle successioni di Cauchy e alla completezza dei numeri reali.
Definizioni di base per funzioni scalari di una variabile reale.
Limiti di funzioni scalari di una variabile reale, loro algebra, permanenza del segno. Limiti all'infinito e limiti il cui valore è infinito. Continuità per funzioni scalari di una variabile reale: Teorema dei valori intermedi e Teorema di Weierstrass (esistenza del valore massimo e minimo). Alcuni limiti notevoli per successioni e funzioni.
Serie numeriche: serie a termini positivi, criteri di confronto, del rapporto e della radice. Serie di Leibnitz.
Funzioni derivabili; continuità delle funzioni derivabili, massimi e minimi relativi e teorema di Fermat. Teorema di Lagrange e conseguenze. Derivate successive, formula di Taylor, criteri per la classificazione dei punti critici. Teorema di de L'Hospital.
Integrale di Riemann: definizione attraverso le somme di Riemann e attraverso l'integrale superiore e inferiore di Darboux. Integrabilità delle funzioni continue ed equivalenza per funzioni continue delle definizioni di Riemann e Darboux (cenno). Teorema di Newton (Fondamentale del Calcolo Integrale) e calcolo delle primitive. Formula di integrazione per parti e per sostituzione. Integrazione delle funzioni razionali. Cenno all'integrale generalizzato.
Metodi didattici
Lo strumento didattico di base saranno le lezioni in aula. Verranno distribuite e rese disponibili in versione digitalizzata delle note manoscritte del corso. Occasionalmente si potrà fare ricorso ad altre modalità di svolgimento delle lezioni, ma la lezione in aula sarà la modalità didattica principale.
Testi di riferimento
Bramanti-Salsa-Pagani "Analisi Matematica 1" Zanichelli
Giusti E. "Analisi Matematica 1" Boringhieri
Verifica dell'apprendimento
L'esame si compone di due prove: una prova scritta che dà l'accesso, con un punteggio maggiore o uguale a 15/30, alla prova orale. La valutazione è sul complesso delle due prove, e dunque non viene stabilita una percentuale del voto da assegnare alla parte scritta e a quella orale.
Risultati attesi
I partecipanti al corso dovrebbero avere alla fine delle lezioni la capacità di utilizzare gli strumenti di base del calcolo infinitesimale per comprendere i passaggi fondamentali degli argomenti matematici utilizzati nelle discipline scientifiche e tecnologiche inerenti il loro corso di studi, e dovrebbero saper risolvere semplici problemi matematici relativi a tali discipline nel caso in cui solo funzioni scalari di una variabile reale siano coinvolte. Inoltre dovrebbero avere la capacità di riconoscere la validità di un argomento dimostrativo basato su argomenti logici di base.