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CARLO BENASSI
Ricercatore Universitario
Dipartimento di Scienze Fisiche, Informatiche e Matematiche sede ex-Matematica
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Insegnamento: Teoria della misura
Matematica (Offerta formativa 2024)
Obiettivi formativi
Il corso si propone di introdurre in modo rigoroso la teoria della misura e dell'integrazione secondo Lebesgue, fornendo agli studenti strumenti teorici adeguati per affrontare corsi avanzati di Analisi Matematica e di Calcolo delle probabilità.
Prerequisiti
Le nozioni di base del calcolo differenziale per funzioni di una o più variabili e la teoria dell'integrazione secondo Riemann.
Programma del corso
Sigma algebre e misure (4 ore)
Misure esterne e costruzione di misure (4 ore)
Funzioni misurabili (4 ore)
L'integrale di Lebesgue, proprietà e teoremi di passaggio al limite sotto il segno di integrale (8 ore)
Spazi di funzioni integrabili (spazi Lp) (12 ore)
Confronto tra convergenze: convergenza quasi ovunque, in misura, convergenza in Lp, convergenza quasi uniforme. Teorema di Egorov (6 ore)
Cariche: teorema di decomposizione di Hahn. Teorema di Radon-Nikodym (6 ore)
- Spazi prodotto e teorema di Fubini (4 ore)
Metodi didattici
Il corso si svolge tramite lezioni frontali, in italiano, nelle quali verranno esposti tutti i contenuti teorici.
Testi di riferimento
R. G. Bartle: The Elements of Integration - Wiley
Verifica dell'apprendimento
L'esame finale consiste in una prova orale al termine del corso. La prova orale dura circa trenta minuti e prevede tre domande su tutto il programma svolto a lezione. Ogni domanda vale al massimo 11 punti (fino a 4 punti significa che la conoscenza dell'argomento oggetto della domanda è gravemente inadeguata, se si arriva ad 11 significa che si è dimostrata una conoscenza della materia al di là delle più rosee aspettative della commissione d'esame) Il voto finale sarà la somma dei punti ottenuti nelle 3 domande (30 e lode se la somma è maggiore di 30). Se in una domanda la valutazione dovesse risultare minore o uguale a quattro, l'esame dovrà essere ripetuto, indipendentemente dall'esito delle altre domande.
Risultati attesi
- Conoscenza e capacità di comprensione:
al termine del corso lo studente dovrebbe avere acquisito le conoscenze di base della teoria astratta della misura e dell'integrale e delle proprietà degli spazi di funzioni integrabili
- Capacità di applicare conoscenza e comprensione:
al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di utilizzare in modo corretto ed efficace l'integrale di Lebesgue in problemi che provengono dalle scienze applicate, ma anche in calcolo delle probabilità ed in corsi di analisi di livello avanzato
- Autonomia di giudizio:
al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di riconoscere in modo autonomo alcuni approcci e metodi risolutivi tipici della teoria dell'integrazione. In particolare, saprà distinguere i contesti nei quali è sufficiente l'integrale alla Riemann da quelli in cui è indispensabile l'integrale alla Lebesgue.
- Capacità di comunicazione:
grazie all'interazione col docente e all'esame orale finale, al termine del corso lo studente dovrebbe essere in grado di relazionare sugli argomenti presentati nel corso con un linguaggio tecnico appropriato e un formalismo matematico corretto
- Capacità di apprendimento:
lo studente acquisirò la capacitò di approfondire in modo autonomo argomenti collaterali a quelli presentati nel corso